Умножение натуральных чисел: правила и примеры для 5 класса

Умножение помогает быстро складывать одинаковые величины.

Умножить число $a$ на натуральное число $b$ означает найти сумму $b$ слагаемых, каждое из которых равно $a$.

Выражение $a \cdot b$ и итоговый результат называют произведением, а числа $a$ и $b$ называют множителями.

Например, выражение $7 \cdot 4$ означает, что число $7$ взяли слагаемым $4$ раза: $7 \cdot 4 = 7 + 7 + 7 + 7 = 28$.

Есть два числа, с которыми вычисления становятся особенно простыми: $1$ и $0$.

Если один из множителей равен $1$, произведение равно другому множителю: $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$.

Например: $36 \cdot 1 = 36$.

При умножении любого числа на ноль получается ноль: $a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$.

Например: $125 \cdot 0 = 0$.

Свойства умножения помогают упрощать примеры и считать быстрее.

Переместительное свойство

От перестановки множителей произведение не меняется: $a \cdot b = b \cdot a$.

Например: $2 \cdot 150 = 150 \cdot 2 = 300$.

Это удобно, потому что проще умножить $150$ на $2$, чем представлять сумму из $150$ двоек.

Сочетательное свойство

Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно сгруппировать множители удобным способом: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

Например: $4 \cdot 25 \cdot 7 = (4 \cdot 25) \cdot 7 = 100 \cdot 7 = 700$.

Распределительное свойство

Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое, а затем сложить результаты: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.

Например: $(10 + 7) \cdot 6 = 10 \cdot 6 + 7 \cdot 6 = 60 + 42 = 102$.

Распределительное свойство работает и для вычитания: $(a-b) \cdot c = a \cdot c-b \cdot c$, если $a \ge b$.

Когда числа становятся большими, удобнее использовать письменное умножение.

Алгоритм такой:

1. Запиши множители один под другим, выравнивая по правому краю: единицы под единицами, десятки под десятками.
2. Начни с младшего разряда, то есть справа налево. Возьми самую правую цифру нижнего множителя и умножь её по очереди на все цифры верхнего числа.
3. Запиши первое неполное произведение.
4. Возьми следующую цифру нижнего числа, то есть десятки, и умножь её на весь верхний множитель.
5. Начни запись второй строки со сдвигом на одну позицию влево, потому что умножение идёт на десятки.
6. Сложи получившиеся неполные произведения по правилам сложения в столбик.

Главное правило при умножении в столбик — следить за разрядами. Ошибка со сдвигом часто даёт неверный ответ, даже если само умножение выполнено правильно.

В 5 классе часто встречаются задачи на движение, стоимость и совместную работу. Разберём каждый тип.

Задача на движение

Условие

Из одного города в другой одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна $65$ км/ч, скорость второго — $72$ км/ч. Найди расстояние между городами, если автомобили встретились через $4$ часа после начала движения.

Задача на стоимость

Условие

Для школьной библиотеки закупили $12$ одинаковых словарей по цене $450$ рублей за каждый и $4$ энциклопедии по цене $850$ рублей за штуку. Какова общая стоимость покупки?

Задача на совместную работу

Условие

Один рабочий за час изготавливает $14$ деталей, а второй рабочий — $18$ деталей. Сколько всего деталей изготовят оба рабочих, если будут трудиться вместе в течение $5$ часов?

При умножении чаще всего ошибаются из-за неаккуратной записи. Вот основные ловушки.

Нет сдвига при умножении в столбик

Неверно: записывать результат умножения на десятки под единицами.

Верно: сдвигать вторую строку вычислений на одну позицию влево. Десятки записываются под десятками.

Путаница с нулём

Неверно: $5 \cdot 0 = 5$.

Так получается, если перепутать умножение со сложением.

Верно: $5 \cdot 0 = 0$.

Произведение на ноль всегда равно $0$.

Пропущенные скобки

Неверно: записывать распределительное свойство так: $a + b \cdot c$.

По порядку действий сначала выполнится умножение $b \cdot c$.

Верно: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.

Скобки показывают, что множитель $c$ относится ко всей сумме.

Ошибка с нулями на конце числа

В примере $400 \cdot 20$ не нужно долго умножать нули в столбик.

Удобнее умножить ненулевые части: $4 \cdot 2 = 8$.

Затем дописать все нули справа от обоих множителей. В числе $400$ два нуля, в числе $20$ один ноль, всего три нуля: $400 \cdot 20 = 8000$.

Реши задания без подсказок, а затем сверь ответы.

Задание 1. Вычисли удобным способом: $2 \cdot 34 \cdot 5$.

Задание 2. Раскрой скобки, применив распределительное свойство: $(10 + 7) \cdot 6$.

Задание 3. Найди значение выражения: $125 \cdot 18 \cdot 0$.

Задание 4. Автобус едет со скоростью $60$ км/ч. Какое расстояние он проедет за $3$ часа?

Теперь ты умеешь применять свойства умножения для быстрого счёта и решать текстовые задачи на движение, стоимость и работу. Эти навыки помогут тебе избежать обидных ошибок в вычислениях на ОГЭ. Чтобы довести навык умножения в столбик до автоматизма и закрепить тему, рекомендуем порешать задания в «100балльном банке».