Простые и составные числа нужны для работы с дробями, нахождения НОД и НОК, а позже — для заданий ОГЭ по математике. Ошибки в этой теме часто появляются из-за путаницы в определениях, непонимания роли единицы и незавершённого разложения. Разберём, какие натуральные числа бывают простыми и составными, как раскладывать число на простые множители и как проверять ответ. После статьи ты сможешь решать типичные задания по этой теме без пропущенных шагов.

Главные определения по теме

Натуральные числа делятся на три группы.

«Натуральное число называют простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число. Примеры простых чисел: $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$».
«Натуральное число, которое имеет более двух делителей, называют составным. Примеры составных чисел: $4$, $6$, $8$, $9$, $10$, $12$. Например, $9$ делится на $1$, на $3$ и на $9$».[i]

Разложение на множители

Каждое составное число можно представить в виде произведения простых чисел. В математике это правило связано с основной теоремой арифметики.

Здесь нужно различать обычное разложение на множители и разложение на простые множители.

Рассмотрим $24$. Запись $24 = 4 \cdot 6$ верна, но $4$ и $6$ — составные числа. Поэтому разложение нужно продолжить: $24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$ .

В разложении на простые множители справа от знака равенства должны стоять только простые числа.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Алгоритм разложения на простые множители

Для разложения больших чисел удобно использовать вертикальную черту. Слева от неё записывают число, которое делят, а справа — делитель.

Чтобы быстрее находить делители, используй признаки делимости:

Если число оканчивается чётной цифрой, его можно делить на $2$.
Если сумма всех цифр делится на $3$, то всё число делится на $3$.
Если значение оканчивается на $0$ или $5$, его можно делить на $5$.

Алгоритм такой:

Запиши исходное значение и проведи справа вертикальную линию.
Найди простой делитель.
Раздели число на этот делитель и запиши результат ниже.
Повторяй действия с каждым новым результатом, пока не получишь $1$.
Запиши все делители справа в виде произведения.

Примеры решений

Разберём три типичных задания. В каждом примере важно довести разложение до простых множителей.

Условие

Разложи число $120$ на простые множители.

Шаг 1. $120$ оканчивается на $0$, значит, оно делится на $2$: $120 : 2 = 60$ .
$60$ тоже чётное: $60 : 2 = 30$ .
Продолжаем делить на $2$: $30 : 2 = 15$ .

Шаг 2. Число $15$ уже не делится на $2$. Проверяем делимость на $3$: $1 + 5 = 6$ , а $6$ делится на $3$. Значит, $15 : 3 = 5$ .

Шаг 3. Пятёрка — простое число, поэтому делим её на себя: $5 : 5 = 1$ .
Краткая запись с вертикальной чертой:

120 | 2
60 | 2
30 | 2
15 | 3
5 | 5
1 |

Ответ: $120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$ .

Условие

Выполни разложение числа $75$ на простые множители.

Шаг 1. $75$ оканчивается на $5$, значит, делится на $5$: $75 : 5 = 15$ .

Число $15$ тоже делится на $5$: $15 : 5 = 3$ .

Шаг 2. Тройка делится только на саму себя и $1$: $3 : 3 = 1$ .

Ответ: $75 = 3 \cdot 5 \cdot 5$ .

Условие

Представь число $126$ в виде произведения простых множителей.

Шаг 1. $126$ оканчивается на $6$, значит, оно чётное: $126 : 2 = 63$ .

Шаг 2. Число $63$ на $2$ не делится. Проверяем сумму цифр: $6 + 3 = 9$ .
Девятка делится на $3$, значит, $63 : 3 = 21$ .
Дальше снова делим на $3$: $21 : 3 = 7$ .

Шаг 3. Семёрка — простое: $7 : 7 = 1$ .

Ответ: $126 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7$ .

Типичные ошибки

При разложении на простые множители чаще всего ошибаются в трёх местах.

Ошибка с единицей

Как нельзя: записывать единицу в итоговый ответ при разложении.
Как нужно: начинать подбор простых делителей с $2$. Единица не относится к простым числам.

Незавершённое решение

Как нельзя: оставлять в правой части составной множитель.
Например, запись $24 = 4 \cdot 6$ не подходит для разложения на простые множители, потому что $4$ и $6$ можно разложить дальше.
Как нужно: проверять каждый множитель в ответе. Если хотя бы одно число можно разложить дальше, алгоритм не завершён.

Беспорядок в делителях

Математически делить можно в разном порядке, если в конце получаются только простые множители. Но на практике удобнее двигаться от меньших простых делителей к большим: $2$, $3$, $5$, $7$ и дальше.

Так меньше риск пропустить множитель, а ответ легче проверить.

Самопроверка

Реши задания самостоятельно, а затем сверь ответы.

Задание 1. Является ли $9$ простым числом?
Задание 2. Разложи $18$ на простые множители.
Задание 3. Разложи $50$ на простые множители.
Задание 4. Разложи $105$ на простые множители.

Ответ к заданию 1. Нет, $9$ — составное, так как делится на $1$, на $3$ и на $9$.

Ответ к заданию 2. $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$ .

Ответ к заданию 3. $50 = 2 \cdot 5 \cdot 5$ .

Решение к заданию 4.
Шаг 1. Для числа $105$ сначала проверяем делимость на $3$: $1 + 0 + 5 = 6$ .
Число $105$ делится на $3$: $105 : 3 = 35$ .
Шаг 2. Дальше делим $35$ на $5$: $35 : 5 = 7$ .
Шаг 3. Семёрка — простое, поэтому разложение завершено.
$105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$ .

Заключение

Теперь ты знаешь, чем простые числа отличаются от составных и почему единица не относится ни к одной из этих групп. Ты умеешь раскладывать составные числа на простые множители с помощью вертикальной черты и признаков делимости. Главное правило проверки: в итоговом произведении должны остаться только простые числа. Если множители записаны по возрастанию, ответ проще проверить и труднее случайно пропустить делитель. Теперь ты сможешь уверенно применять этот алгоритм в заданиях на контрольных и в будущем на ОГЭ по математике (например, при работе с дробями в задании № 6).