В доме всего восемнадцать квартир, их номера от \(1\) до \(18\). В каждой квартире живёт не меньше одного и не больше трёх человек. В квартирах с \(1\)-й по \(13\)-ю включительно живёт суммарно \(15\) человек, а в квартирах с \(11\)-й по \(18\)-ю включительно живёт суммарно \(20\) человек. Сколько всего человек живёт в этом доме?

Пусть \(x\) — число жителей в квартирах с \(11\) по \(13\). Тогда в квартирах с \(1\) по \(10\) живёт \(15 - x\) человек, а в квартирах с \(14\) по \(18\) — \(20 - x\) человек. В \(10\) квартирах (с \(1\) по \(10\)) минимум \(10\) человек, значит: \(15 - x \ge 10 \quad \Rightarrow \quad x \le 5\). В \(5\) квартирах (с \(14\) по \(18\)) максимум \(15\) человек, значит: \(20 - x \le 15 \quad \Rightarrow \quad x \ge 5\). Отсюда \(x = 5\). Общее число жителей: \((15 - x) + x + (20 - x) = 35 - x = 35 - 5 = 30\). Ответ: \(30\) человек.

Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в восьмом подъезде в квартире №\(468\), а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом двенадцатиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)

Пусть на каждом этаже \(k\) квартир. В каждом подъезде \(12k\) квартир. В первых семи подъездах квартир: \(7 \cdot 12k = 84k\). Квартира №\(468\) находится в восьмом подъезде, значит: \(84k 468\), не подходит. Значит, \(k = 5\). В восьмом подъезде квартиры имеют номера с \(421\) по \(480\). Номер квартиры внутри подъезда: \(468 - 420 = 48\). На каждом этаже \(5\) квартир, значит этаж: \(\dfrac{48}{5} = 9{,}6\). Значит, Саша живет на \(10\) этаже. Ответ: \(10\)-й этаж.

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: 1) за \(4\) золотых монеты получить \(5\) серебряных и \(1\) медную; 2) за \(8\) серебряных монет получить \(5\) золотых и \(1\) медную. У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось \(45\) медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

Пусть Николай совершил \(x\) операций первого типа и \(y\) операций второго типа. При операции первого типа он отдаёт \(4\) золотых, получает \(5\) серебряных и \(1\) медную. При операции второго типа он отдаёт \(8\) серебряных, получает \(5\) золотых и \(1\) медную. Так как в итоге золотых не осталось, то количество полученных золотых (от операций второго типа) должно равняться количеству отданных золотых (в операциях первого типа): \(5y = 4x.\) Медных монет стало \(45\), значит: \(x + y = 45.\) Решим систему: \(5y = 4x, \quad x + y = 45.\) Из первого уравнения \(x = \dfrac{5y}{4}\). Подставим во второе: \(\dfrac{5y}{4} + y = 45 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{9y}{4} = 45 \quad \Rightarrow \quad y = 20.\) Тогда \(x = 25\). Теперь найдём изменение количества серебряных монет: - При операциях первого типа Николай получал \(5\) серебряных за каждую, всего \(5x = 125\) серебряных. - При операциях второго типа он отдавал \(8\) серебряных за каждую, всего \(8y = 160\) серебряных. Итоговое изменение: \(125 - 160 = -35\), то есть серебряных стало на \(35\) меньше. Ответ: \(35\) монет.

На прилавке цветочного магазина стоят \(3\) вазы с розами: голубая, зелёная и жёлтая. Слева от зелёной вазы \(27\) роз, справа от голубой вазы \(23\) розы. Всего в вазах \(42\) розы. Сколько роз в жёлтой вазе?

Пусть: \(x\) — число роз в голубой вазе, \(y\) — в жёлтой, \(z\) — в зелёной. Из условия следует, что вазы стоят в порядке: голубая, жёлтая, зелёная. Тогда: - слева от зелёной: \(x + y = 27\), - справа от голубой: \(y + z = 23\), - всего: \(x + y + z = 42\). Сложим первые два уравнения: \((x + y) + (y + z) = 27 + 23 \Rightarrow x + z + 2y = 50\). Подставим \(x + y + z = 42\): \(42 + y = 50 \Rightarrow y = 8\). Ответ: \(8\) роз.