В классе \(27\) учеников. Каждый мальчик дружит с четырьмя девочками, а каждая девочка — с пятью мальчиками. Сколько девочек учится в этом классе?

Пусть \(x\) — число девочек, тогда мальчиков \(27 - x\). Каждая девочка дружит с \(5\) мальчиками, значит, общее число дружеских связей (девочка–мальчик) со стороны девочек: \(5x.\) Каждый мальчик дружит с \(4\) девочками, значит, общее число таких же связей со стороны мальчиков: \(4 \cdot (27 - x).\) Так как это одни и те же связи, приравняем их: \(5x = 4 \cdot (27 - x).\) Решим: \(5x = 108 - 4x,\) \(5x + 4x = 108,\) \(9x = 108,\) \(x = 12.\) Ответ: \(12\) девочек.

На столе лежали тетради для трёх учеников. Сначала пришёл первый, забрал треть всех тетрадей и ушёл. Следом пришёл второй и, не зная о том, что часть тетрадей уже забрали, взял треть лежавших на столе тетрадей, после чего ушёл. Третий ученик, не зная о том, что двое уже забрали тетради, взял треть и ушёл. После ухода третьего ученика на столе осталось \(8\) тетрадей. Сколько тетрадей было на столе первоначально?

Пусть первоначально было \(x\) тетрадей. После первого ученика осталось: \(x - \dfrac{x}{3} = \dfrac{2x}{3}.\) Второй взял треть от оставшихся, то есть \(\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2x}{3} = \dfrac{2x}{9}\). После второго осталось: \(\dfrac{2x}{3} - \dfrac{2x}{9} = \dfrac{6x}{9} - \dfrac{2x}{9} = \dfrac{4x}{9}.\) Третий взял треть от того, что лежало, то есть \(\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{4x}{9} = \dfrac{4x}{27}\). После третьего осталось: \(\dfrac{4x}{9} - \dfrac{4x}{27} = \dfrac{12x}{27} - \dfrac{4x}{27} = \dfrac{8x}{27}.\) По условию осталось \(8\) тетрадей: \(\dfrac{8x}{27} = 8.\) Умножим обе части на \(27\): \(8x = 216,\) \(x = 27.\) Ответ: \(27\) тетрадей.

В корзине лежат \(27\) грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых \(19\) грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых \(10\) грибов — хотя бы один груздь. Сколько груздей в корзине?

Пусть \(r\) — число рыжиков, \(g\) — число груздей. Тогда \(r + g = 27\). Условие "среди любых \(19\) грибов есть хотя бы один рыжик" означает, что нельзя выбрать \(19\) грибов без рыжика, то есть груздей меньше \(19\): \(g \le 18\). Условие "среди любых \(10\) грибов есть хотя бы один груздь" означает, что нельзя выбрать \(10\) грибов без груздя, то есть рыжиков меньше \(10\): \(r \le 9\). Так как \(r + g = 27\), то: \(r \le 9\) и \(g \le 18\). Проверим возможные значения: Если \(g = 18\), то \(r = 9\). Проверим: - Среди любых \(19\) грибов: если взять все \(18\) груздей и \(1\) рыжик, то рыжик есть. Если взять \(19\) груздей — нельзя, так как их всего \(18\). Значит, условие выполняется. - Среди любых \(10\) грибов: если взять \(10\) рыжиков — нельзя, так как их всего \(9\). Значит, в любых \(10\) грибах обязательно будет груздь. Условие выполняется. Если \(g 9\), но тогда можно выбрать \(10\) рыжиков, что нарушит второе условие. Значит, \(g\) не может быть меньше \(18\). Таким образом, \(g = 18\). Ответ: \(18\) груздей.

В корзине лежат \(25\) грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых \(11\) грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых \(16\) грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?

Пусть \(r\) — число рыжиков, \(g\) — число груздей. Тогда \(r + g = 25\). Условие "среди любых \(11\) грибов есть хотя бы один рыжик" означает, что нельзя выбрать \(11\) грибов без рыжика, то есть груздей меньше \(11\): \(g \le 10\). Условие "среди любых \(16\) грибов есть хотя бы один груздь" означает, что нельзя выбрать \(16\) грибов без груздя, то есть рыжиков меньше \(16\): \(r \le 15\). Так как \(r + g = 25\), то: \(r \le 15\) и \(g \le 10\). Проверим возможные значения: Если \(g = 10\), то \(r = 15\). Проверим: - Среди любых \(11\) грибов: если взять все \(10\) груздей и \(1\) рыжик, то рыжик есть. Если взять \(11\) груздей — нельзя, так как их всего \(10\). Значит, условие выполняется. - Среди любых \(16\) грибов: если взять \(16\) рыжиков — нельзя, так как их всего \(15\). Значит, в любых \(16\) грибах обязательно будет груздь. Условие выполняется. Если \(g 15\), но тогда можно выбрать \(16\) рыжиков, что нарушит второе условие. Значит, \(g\) не может быть меньше \(10\). Таким образом, \(g = 10\), значит \(r = 15\). Ответ: \(15\) рыжиков.

Миша, Коля и Лёша играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Миша сыграл \(11\) партий, а Коля — \(23\). Сколько партий сыграл Лёша?

В каждой партии участвуют двое. В каждой из этих \(23\) партий с Колей играл либо Миша, либо Лёша. Миша сыграл всего \(11\) партий, значит, он играл с Колей ровно \(11\) раз. Остальные \(23 - 11 = 12\) партий Коля играл с Лёшей. Значит, Лёша сыграл \(12\) партий. Ответ: \(12\) партий.