Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём \(110\) квартир?

Пусть: \(a\) — число подъездов, \(b\) — число квартир на этаже, \(c\) — число этажей. По условию: \(a > 1\), \(b > a\), \(c > b\). Общее число квартир: \(a \cdot b \cdot c = 110\). Разложим \(110\) на простые множители: \(110 = 2 \cdot 5 \cdot 11\). Единственный способ удовлетворить условиям \(1 < a < b < c\): \(a = 2\), \(b = 5\), \(c = 11\). Ответ: \(11\) этажей.

Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько подъездов в доме, если всего в нём \(105\) квартир?

Пусть: \(a\) — число подъездов, \(b\) — число квартир на этаже, \(c\) — число этажей. По условию: \(a > 1\), \(b > a\), \(c > b\). Общее число квартир: \(a \cdot b \cdot c = 105\). Разложим \(105\) на простые множители: \(105 = 3 \cdot 5 \cdot 7\). Единственный способ удовлетворить условиям \(1 < a < b < c\): \(a = 3\), \(b = 5\), \(c = 7\). Ответ: \(3\) подъезда.

Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, совершив ровно \(8\) прыжков?

За каждый прыжок кузнечик смещается на \(1\) вправо или на \(1\) влево. После \(8\) прыжков его координата равна \(x = k - (8 - k) = 2k - 8\), где \(k\) — число прыжков вправо (\(0 \le k \le 8\)). При изменении \(k\) от \(0\) до \(8\) значение \(x\) принимает все чётные числа от \(-8\) до \(8\). Количество таких чисел: от \(-8\) до \(8\) с шагом \(2\): \(-8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8\). Всего \(9\) точек. Ответ: \(9\).

Про натуральные числа \(A\), \(B\) и \(C\) известно, что каждое из них больше \(4\), но меньше \(8\). Загадали натуральное число, затем его умножили на \(A\), потом прибавили к полученному произведению \(B\) и вычли \(C\). Получилось \(165\). Какое число было загадано?

Пусть загаданное число — \(x\). Тогда: \(A \cdot x + B - C = 165\). Так как \(A, B, C\) — натуральные, \(5 \le A, B, C \le 7\). Значит, \(B - C\) может быть от \(-2\) до \(2\). Тогда \(A \cdot x = 165 - (B - C)\). Подберём \(A\) из \(\{5, 6, 7\}\), чтобы \(165 - (B - C)\) делилось на \(A\) нацело и частное было натуральным. Проверим \(A = 5\): \(165 - (B - C)\) должно делиться на \(5\). \(165\) делится на \(5\), значит \(B - C\) должно делиться на \(5\). Но \(|B - C| \le 2\), значит \(B - C = 0\). Тогда \(A \cdot x = 165\), \(x = \dfrac{165}{5} = 33\). При \(A = 6\) или \(A = 7\) не получается целого \(x\) в пределах разумного. Ответ: \(33\).