Если бы каждый из двух множителей увеличили на \(1\), то их произведение увеличилось бы на \(11\). На сколько увеличится произведение этих множителей, если каждый из них увеличить на \(2\)?

Пусть множители равны \(a\) и \(b\). По условию: \((a + 1)(b + 1) - ab = 11.\) Раскроем скобки: \(ab + a + b + 1 - ab = a + b + 1 = 11,\) \(a + b = 10.\) Теперь найдём увеличение произведения при увеличении каждого множителя на \(2\): \((a + 2)(b + 2) - ab = ab + 2a + 2b + 4 - ab = 2(a + b) + 4.\) Подставим \(a + b = 10\): \(2 \cdot 10 + 4 = 24.\) Ответ: \(24\).

Маша и Медведь съели \(100\) печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в три раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну?

Пусть скорость Маши в поедании варенья равна \(x\) (банок в минуту), тогда скорость Медведя — \(3x\). Так как варенья они съели поровну, то каждый съел по половине банки. Время, которое Маша ела варенье: \(\dfrac{0{,}5}{x} = \dfrac{1}{2x}\). Время, которое Медведь ел варенье: \(\dfrac{0{,}5}{3x} = \dfrac{1}{6x}\). Так как они менялись, то общее время процесса равно: \(t = \dfrac{1}{2x} + \dfrac{1}{6x} = \dfrac{3}{6x} + \dfrac{1}{6x} = \dfrac{4}{6x} = \dfrac{2}{3x}.\) Теперь рассмотрим печенье. Пусть скорость Маши в поедании печенья равна \(y\) (печений в минуту), тогда скорость Медведя — \(3y\). Маша ела печенье только после того, как перестала есть варенье, то есть в течение времени, которое Медведь ел варенье: \(\dfrac{1}{6x}\). Медведь ел печенье в течение времени, которое Маша ела варенье: \(\dfrac{1}{2x}\). Количество печений, съеденных Машей: \(y \cdot \dfrac{1}{6x} = \dfrac{y}{6x}.\) Количество печений, съеденных Медведем: \(3y \cdot \dfrac{1}{2x} = \dfrac{3y}{2x}.\) Всего печений: \(\dfrac{y}{6x} + \dfrac{3y}{2x} = \dfrac{y}{6x} + \dfrac{9y}{6x} = \dfrac{10y}{6x} = \dfrac{5y}{3x} = 100.\) Отсюда \(\dfrac{y}{x} = 100 \cdot \dfrac{3}{5} = 60\). Тогда Медведь съел: \(\dfrac{3y}{2x} = \dfrac{3}{2} \cdot 60 = 90.\) Ответ: \(90\) печений.

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна \(49\), во втором \(97\), в третьем — \(146\), а сумма чисел в каждой строке больше \(18\), но меньше \(21\). Сколько всего строк в таблице?

Общая сумма всех чисел в таблице: \(49 + 97 + 146 = 292.\) Пусть в таблице \(n\) строк. Сумма чисел в каждой строке больше \(18\) и меньше \(21\), то есть может быть равна \(19\) или \(20\) (так как числа натуральные, сумма целая). Тогда общая сумма \(S\) удовлетворяет: \(19n \le S \le 20n.\) Подставим \(S = 292\): \(19n \le 292 \le 20n.\) Разделим на \(n\): \(n \ge \dfrac{292}{20} = 14{,}6 \quad \Rightarrow \quad n \ge 15,\) \(n \le \dfrac{292}{19} \approx 15{,}36 \quad \Rightarrow \quad n \le 15.\) Значит, \(n = 15\). Проверим: если \(n = 15\), то сумма всех чисел: \(15 \cdot 19 = 285, \quad 15 \cdot 20 = 300.\) \(292\) находится между \(285\) и \(300\), значит, это возможно. Ответ: \(15\) строк.

Среднее арифметическое восьми различных натуральных чисел равно \(13\). Среднее арифметическое этих чисел и девятого числа равно \(14\). Чему равно девятое число?

Пусть \(x\) — девятое число. Сумма первых восьми чисел: \(13 \cdot 8 = 104.\) Сумма всех девяти чисел: \(104 + x.\) Среднее арифметическое девяти чисел равно \(14\): \(\dfrac{104 + x}{9} = 14.\) Умножим обе части на \(9\): \(104 + x = 126.\) Отсюда: \(x = 126 - 104 = 22.\) Ответ: \(22\).

В классе \(24\) ученика. Каждый мальчик дружит с четырьмя девочками, а каждая девочка — с двумя мальчиками. Сколько мальчиков учится в этом классе?

Пусть \(x\) — число мальчиков, тогда девочек \(24 - x\). Каждый мальчик дружит с \(4\) девочками, значит, общее число дружеских связей (мальчик–девочка) со стороны мальчиков: \(4x.\) Каждая девочка дружит с \(2\) мальчиками, значит, общее число таких же связей со стороны девочек: \(2 \cdot (24 - x).\) Так как это одни и те же связи, приравняем их: \(4x = 2 \cdot (24 - x).\) Решим: \(4x = 48 - 2x,\) \(4x + 2x = 48,\) \(6x = 48,\) \(x = 8.\) Ответ: \(8\) мальчиков.