Список заданий викторины состоял из \(50\) вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал \(9\) очков, за неправильный ответ с него списывали \(17\) очков, а при отсутствии ответа давали \(0\) очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший \(153\) очка, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Пусть \(x\) — число верных ответов, \(y\) — число неверных ответов, \(z\) — число пропущенных вопросов. Тогда: \(x + y + z = 50,\) \(9x - 17y = 153.\) Из второго уравнения выразим \(x\): \(9x = 153 + 17y \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{153 + 17y}{9}.\) Так как \(x\) — целое число, \(153 + 17y\) должно делиться на \(9\). \(153\) делится на \(9\) (\(153 = 9 \cdot 17\)), значит \(17y\) должно делиться на \(9\). Так как \(17\) не кратно \(9\), то \(y\) должно быть кратно \(9\). Так как \(y \ge 1\) и \(x + y \le 50\), проверим возможные \(y\): - \(y = 9\): \(x = \dfrac{153 + 153}{9} = \dfrac{306}{9} = 34\). Тогда \(z = 50 - 34 - 9 = 7\). Всё подходит. - \(y = 18\): \(x = \dfrac{153 + 306}{9} = \dfrac{459}{9} = 51\). Но \(x = 51 > 50\), не подходит. Значит, \(x = 34\). Ответ: \(34\) верных ответа.

Список заданий викторины состоял из \(55\) вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал \(9\) очков, за неправильный ответ с него списывали \(17\) очков, а при отсутствии ответа давали \(0\) очков. На сколько вопросов ученик, набравший \(153\) очка, не дал никаких ответов, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся и по крайней мере на \(1\) вопрос не дал ответа?

Пусть \(x\) — число верных ответов, \(y\) — число неверных ответов, \(z\) — число пропущенных вопросов. Тогда: \(x + y + z = 55,\) \(9x - 17y = 153.\) Из второго уравнения выразим \(x\): \(9x = 153 + 17y \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{153 + 17y}{9}.\) \(153\) делится на \(9\) (\(153 = 9 \cdot 17\)), значит \(17y\) должно делиться на \(9\). Так как \(17\) не кратно \(9\), то \(y\) должно быть кратно \(9\). Так как \(y \ge 1\) и \(z \ge 1\), проверим возможные \(y\): - \(y = 9\): \(x = \dfrac{153 + 153}{9} = \dfrac{306}{9} = 34\). Тогда \(z = 55 - 34 - 9 = 12\). Всё подходит. - \(y = 18\): \(x = \dfrac{153 + 306}{9} = \dfrac{459}{9} = 51\). Тогда \(z = 55 - 51 - 18 = -14\) — не подходит. - \(y = 27\): \(x = \dfrac{153 + 459}{9} = \dfrac{612}{9} = 68 > 55\) — не подходит. Значит, \(z = 12\). Ответ: \(12\) вопросов.

Список заданий викторины состоял из \(60\) вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал \(9\) очков, за неправильный ответ с него списывали \(17\) очков, а при отсутствии ответа давали \(0\) очков. Сколько неверных ответов дал ученик, набравший \(153\) очка, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся и по крайней мере на \(1\) вопрос не дал ответа?

Пусть \(x\) — число верных ответов, \(y\) — число неверных ответов, \(z\) — число пропущенных вопросов. Тогда: \(x + y + z = 60,\) \(9x - 17y = 153.\) Из второго уравнения выразим \(x\): \(9x = 153 + 17y \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{153 + 17y}{9}.\) \(153\) делится на \(9\) (\(153 = 9 \cdot 17\)), значит \(17y\) должно делиться на \(9\). Так как \(17\) не кратно \(9\), то \(y\) должно быть кратно \(9\). Так как \(y \ge 1\) и \(z \ge 1\), проверим возможные \(y\): - \(y = 9\): \(x = \dfrac{153 + 153}{9} = \dfrac{306}{9} = 34\). Тогда \(z = 60 - 34 - 9 = 17\). Всё подходит. - \(y = 18\): \(x = \dfrac{153 + 306}{9} = \dfrac{459}{9} = 51\). Тогда \(z = 60 - 51 - 18 = -9\) — не подходит. - \(y = 27\): \(x = \dfrac{153 + 459}{9} = \dfrac{612}{9} = 68 > 60\) — не подходит. Значит, \(y = 9\). Ответ: \(9\) неверных ответов.

На ленте по разные стороны от середины отмечены тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на \(30\) см длиннее другой. Если разрезать ленту по синей полоске, то одна часть будет на \(50\) см длиннее другой. Найдите расстояние (в сантиметрах) между красной и синей полосками.

Пусть длина всей ленты равна \(L\) см, а расстояние от левого края до красной полоски — \(x\) см, до синей — \(y\) см (пусть \(y > x\), так как полоски по разные стороны от середины). Если разрезать по красной полоске, то части имеют длины \(x\) и \(L - x\). Разность длин: \(| (L - x) - x | = |L - 2x| = 30.\) Так как красная полоска находится ближе к одному из краёв, то \(L - 2x = \pm 30\). Если разрезать по синей полоске, то части имеют длины \(y\) и \(L - y\). Разность: \(|L - 2y| = 50.\) Так как полоски по разные стороны от середины, то \(x \dfrac{L}{2}\). Тогда: \(L - 2x = 30 \quad \Rightarrow \quad 2x = L - 30,\) \(2y - L = 50 \quad \Rightarrow \quad 2y = L + 50.\) Расстояние между полосками: \(y - x = \dfrac{L + 50}{2} - \dfrac{L - 30}{2} = \dfrac{50 + 30}{2} = \dfrac{80}{2} = 40.\) Ответ: \(40\) см.

В магазине квас на разлив можно купить в бутылках, причём стоимость кваса в бутылке складывается из стоимости самой бутылки и стоимости налитого в неё кваса. Цена бутылки не зависит от её объёма. Бутылка с квасом объёмом \(1\) литр стоит \(45\) рублей, объёмом \(2\) литра — \(81\) рубль. Сколько рублей будет стоить бутылка с квасом объёмом \(1{,}5\) литра?

Пусть цена бутылки равна \(b\) рублей, а цена \(1\) литра кваса равна \(k\) рублей. Тогда: \(b + 1 \cdot k = 45,\) \(b + 2 \cdot k = 81.\) Вычтем из второго уравнения первое: \(( b + 2k ) - ( b + k ) = 81 - 45 \quad \Rightarrow \quad k = 36.\) Тогда \(b = 45 - 36 = 9\). Цена бутылки объёмом \(1{,}5\) литра: \(b + 1{,}5 \cdot k = 9 + 1{,}5 \cdot 36 = 9 + 54 = 63.\) Ответ: \(63\) рубля.