На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится \(9\) кусков, если по жёлтым — \(7\) кусков, а если по зелёным — \(6\) кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?

Количество кусков при распиле по линиям одного цвета на \(1\) больше числа самих линий. Значит: - красных линий: \(9 - 1 = 8\), - жёлтых линий: \(7 - 1 = 6\), - зелёных линий: \(6 - 1 = 5\). Общее число линий всех цветов: \(8 + 6 + 5 = 19.\) Если распилить палку по всем этим линиям, то кусков будет на \(1\) больше, чем линий: \(19 + 1 = 20.\) Ответ: \(20\) кусков.

Клетки таблицы \(7 \times 5\) раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось \(27\) пар соседних клеток разного цвета и \(21\) пара соседних клеток чёрного цвета. (Клетки считаются соседними, если у них есть общая сторона.) Сколько получилось пар соседних клеток белого цвета?

Всего соседних пар клеток в таблице \(7 \times 5\): По горизонтали: \(7 \cdot (5-1) = 7 \cdot 4 = 28\). По вертикали: \((7-1) \cdot 5 = 6 \cdot 5 = 30\). Общее число соседних пар: \(28 + 30 = 58.\) Из них: - \(27\) пар — разного цвета (чёрно-белые), - \(21\) пара — чёрно-чёрные. Остальные пары — бело-белые: \(58 - 27 - 21 = 10.\) Ответ: \(10\) пар.

Из десяти стран семь подписали договор о дружбе ровно с пятью другими странами, а каждая из оставшихся трёх — ровно с семью. Сколько всего было подписано договоров?

Каждый договор подписывают две страны, поэтому общее число подписей (концов договоров) равно удвоенному числу договоров. Семь стран подписали по \(5\) договоров: \(7 \cdot 5 = 35 \text{ подписей}.\) Три страны подписали по \(7\) договоров: \(3 \cdot 7 = 21 \text{ подпись}.\) Всего подписей: \(35 + 21 = 56.\) Число договоров: \(56 : 2 = 28.\) Ответ: \(28\) договоров.

Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами \(352\), номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке. Сколько листов выпало?

Номер последней страницы перед выпавшими листами: \(352\). Первая страница после выпавших листов должна быть больше \(352\) и состоять из тех же цифр \(3, 5, 2\) в другом порядке. Возможные варианты: \(523\), \(532\), \(253\), \(235\), \(325\). Из них больше \(352\): \(523\) и \(532\). Проверим: - Если первая страница после выпавших — \(523\), то выпали страницы с \(353\) по \(522\). Количество страниц: \(522 - 353 + 1 = 170\). Так как в одном листе 2 страницы, число листов: \(170 : 2 = 85\). - Если первая страница — \(532\), то выпали страницы с \(353\) по \(531\). Количество страниц: \(531 - 353 + 1 = 179\). \(179\) нечётное, значит, не может быть целого числа листов (так как лист содержит \(2\) страницы). Значит, подходит только первый вариант. Ответ: \(85\) листов.

Петя меняет маленькие фишки на большие. За один обмен он получает \(7\) больших фишек, отдав \(11\) маленьких. До обменов у Пети было \(100\) фишек (среди них были и большие, и маленькие), а после стало \(68\). Сколько обменов он совершил?

За один обмен количество фишек уменьшается на: \(11 - 7 = 4 \text{ фишки}.\) Общее уменьшение числа фишек: \(100 - 68 = 32 \text{ фишки}.\) Число обменов: \(32 : 4 = 8.\) Ответ: \(8\) обменов.