Первые \(140\) км автомобиль ехал со скоростью \(80\) км/ч, следующие \(110\) км — со скоростью \(110\) км/ч, а затем \(150\) км — со скоростью \(120\) км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Время на каждом участке: \(t_1 = \dfrac{140}{80} = 1{,}75 \text{ ч},\) \(t_2 = \dfrac{110}{110} = 1 \text{ ч},\) \(t_3 = \dfrac{150}{120} = 1{,}25 \text{ ч}.\) Общий путь: \(140 + 110 + 150 = 400\) км. Общее время: \(1{,}75 + 1 + 1{,}25 = 4\) ч. Средняя скорость: \(\dfrac{400}{4} = 100\) км/ч.

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью \(19\) км/ч. Обратно он летел на спортивном самолёте со скоростью \(342\) км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Пусть расстояние в один конец равно \(S\) км. Время на яхте: \(\dfrac{S}{19}\) ч. Время на самолёте: \(\dfrac{S}{342}\) ч. Общий путь: \(2S\) км. Общее время: \(\dfrac{S}{19} + \dfrac{S}{342}\). Приведём к общему знаменателю: \(\dfrac{S}{19} + \dfrac{S}{342} = \dfrac{18S}{342} + \dfrac{S}{342} = \dfrac{19S}{342}.\) Средняя скорость: \(v_{ср} = \dfrac{2S}{\frac{19S}{342}} = 2S \cdot \dfrac{342}{19S} = \dfrac{2 \cdot 342}{19} = \dfrac{684}{19} = 36 \text{ км/ч}.\) Ответ: \(36\) км/ч.

Первую треть пути автомобиль ехал со скоростью \(60\) км/ч, вторую треть — со скоростью \(100\) км/ч, а последнюю — со скоростью \(30\) км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Пусть весь путь равен \(3S\) км, тогда каждая треть — \(S\) км. Время на каждом участке: \(t_1 = \dfrac{S}{60}, \quad t_2 = \dfrac{S}{100}, \quad t_3 = \dfrac{S}{30}.\) Общее время: \(t = \dfrac{S}{60} + \dfrac{S}{100} + \dfrac{S}{30}.\) Приведём к общему знаменателю \(300\): \(t = \dfrac{5S}{300} + \dfrac{3S}{300} + \dfrac{10S}{300} = \dfrac{18S}{300} = \dfrac{3S}{50}.\) Средняя скорость: \(v_{ср} = \dfrac{3S}{t} = \dfrac{3S}{\dfrac{3S}{50}} = 50 \text{ км/ч}.\) Ответ: \(50\) км/ч.

Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна \(22\) км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна \(2\) км/ч, стоянка длится \(6\) часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через \(28\) часов после отправления из него. Сколько километров прошёл теплоход за весь рейс?

Скорость теплохода по течению: \(22 + 2 = 24\) км/ч. Скорость против течения: \(22 - 2 = 20\) км/ч. Пусть расстояние в один конец равно \(S\) км. Время движения по течению: \(\dfrac{S}{24}\) ч. Время движения против течения: \(\dfrac{S}{20}\) ч. Общее время движения: \(28-6=22\)ч. \(\dfrac{S}{24} + \dfrac{S}{20} = 22\) Приведём к общему знаменателю \(120\): \(\dfrac{5S}{120} + \dfrac{6S}{120} = 22,\) \(11S = 22 \cdot 120,\) \(11S = 2640,\) \(S = 240 \text{ км}.\) Весь путь (туда и обратно): \(2S = 480 \text{ км}.\) Ответ: \(480\) км.

Моторная лодка прошла против течения реки \(224\) км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на \(2\) часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна \(1\) км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Пусть \(x\) км/ч — скорость лодки в неподвижной воде. Тогда \(x>1\). Скорость, км/ч | Время, ч | Расстояние, км Против течения | \(x-1\) | \(\dfrac{224}{x-1}\) | \(224\) По течению | \(x+1\) | \(\dfrac{224}{x+1}\) | \(224\) По условию обратный путь занял на \(2\) часа меньше: \(\dfrac{224}{x-1}-\dfrac{224}{x+1}=2\). Умножим обе части уравнения на \((x-1)(x+1)\): \(224(x+1)-224(x-1)=2(x-1)(x+1)\), \(448=2(x^2-1)\), \(224=x^2-1\), \(x^2=225\), \(x_1=15\), \(x_2=-15\). Так как \(x>1\), подходит только \(x=15\). Ответ: \(15\).