Из двух городов, расстояние между которыми равно \(420\) км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны \(65\) км/ч и \(75\) км/ч?

Скорость сближения автомобилей: \(65 + 75 = 140 \text{ км/ч}.\) Время до встречи: \(t = \dfrac{420}{140} = 3 \text{ ч}.\) Ответ: \(3\) часа.

Пешеход и велосипедист одновременно отправились из посёлков, расстояние между которыми \(36\) км, навстречу друг другу. Они встретились через \(2\) часа. Скорость велосипедиста на \(8\) км/ч больше скорости пешехода. Найдите скорость пешехода. Ответ дайте в км/ч.

Скорость сближения: \(36 : 2 = 18 \text{ км/ч}.\) Пусть скорость пешехода \(x\) км/ч, тогда скорость велосипедиста \(x + 8\) км/ч. \(x + (x + 8) = 18,\) \(2x + 8 = 18,\) \(2x = 10,\) \(x = 5.\) Ответ: \(5\) км/ч.

Два человека одновременно отправляются из одного дома на прогулку до опушки леса, находящейся в \(4{,}5\) км от дома. Один идёт со скоростью \(4\) км/ч, а другой — со скоростью \(5\) км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от дома произойдёт их встреча? Ответ дайте в километрах.

Пусть встреча произошла на расстоянии \(x\) км от дома. Первый прошёл \(x\) км со скоростью \(4\) км/ч, его время: \(\dfrac{x}{4}\) ч. Второй прошёл \(4{,}5\) км до опушки и вернулся на расстояние \(4{,}5 - x\) км (так как он идёт обратно навстречу первому). Его общий путь: \(4{,}5 + (4{,}5 - x) = 9 - x\) км. Скорость второго \(5\) км/ч, его время: \(\dfrac{9 - x}{5}\) ч. Так как они вышли одновременно, приравняем их время: \(\dfrac{x}{4} = \dfrac{9 - x}{5}.\) Решаем: \(5x = 4(9 - x),\) \(5x = 36 - 4x,\) \(9x = 36,\) \(x = 4.\) Ответ: \(4\) км.

Расстояние между городами A и B равно \(310\) км. Из города A в город B со скоростью \(60\) км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью \(65\) км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города A автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.

Первый автомобиль за 1 час проехал: \(60 \cdot 1 = 60 \text{ км}.\) Осталось расстояние между автомобилями: \(310 - 60 = 250 \text{ км}.\) Скорость сближения: \(60 + 65 = 125 \text{ км/ч}.\) Время до встречи после выезда второго: \(250 : 125 = 2 \text{ ч}.\) Первый автомобиль всего был в пути: \(1 + 2 = 3 \text{ ч}.\) Расстояние от города A до места встречи: \(60 \cdot 3 = 180 \text{ км}.\) Ответ: \(180\) км.