В ходе распада радиоактивного изотопа его масса \(m\) (в мг) уменьшается по закону \(m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}},\) где \(m_0 = 196\) мг — начальная масса, \(T = 4\) мин — период полураспада. Найдите время \(t\), через которое масса станет равна \(49\) мг.

Подставим известные значения: \(49 = 196 \cdot 2^{-\frac{t}{4}}.\) Разделим обе части на \(196\): \(\dfrac{49}{196} = 2^{-\frac{t}{4}}.\) Упростим левую часть: \(\dfrac{49}{196} = \dfrac{1}{4}.\) Получаем: \(\dfrac{1}{4} = 2^{-\frac{t}{4}}.\) Заметим, что \(\dfrac{1}{4} = 2^{-2}\). Тогда: \(2^{-2} = 2^{-\frac{t}{4}}.\) Так как основания равны, приравняем показатели: \(-2 = -\dfrac{t}{4}.\) Умножим на \(-4\): \(t = 8.\) Ответ: \(8\) минут.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса \(m\) (в мг) уменьшается по закону \(m = m_{0} \cdot 2^{-\frac{\tau}{T}}\), где \(m_{0}\) — начальная масса изотопа (в мг), \(\tau\) — время, прошедшее от начального момента (в мин), \(T\) — период полураспада (в мин). В начальный момент времени масса изотопа \(20\) мг. Период его полураспада составляет \(10\) минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна \(5\) мг.

Подставим значения в формулу: \(5 = 20 \cdot 2^{-\frac{T}{10}}.\) Разделим обе части на \(20\): \(\dfrac{5}{20} = 2^{-\frac{T}{10}}.\) Упростим левую часть: \(\dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4}.\) Получаем: \(2^{-\frac{T}{10}} = \dfrac{1}{4}.\) Заметим, что \(\dfrac{1}{4} = 2^{-2}\). Тогда: \(-\dfrac{T}{10} = -2.\) Отсюда: \(\dfrac{T}{10} = 2 \quad \Rightarrow \quad T = 20.\) Ответ: \(20\) минут.

Водолазный колокол, содержащий \(\nu = 6\) моль воздуха при давлении \(p_1 = 2{,}5\) атм, медленно опускают на дно водоёма. При изотермическом сжатии работа \(A\) (в Дж) вычисляется по формуле \(A = \alpha \nu T \log_2 \dfrac{p_2}{p_1},\) где \(\alpha = 5{,}75\) Дж/(моль·К), \(T = 300\) К. Найдите конечное давление \(p_2\) (в атм), если \(A = 10350\) Дж.

Подставим значения в формулу: \(10350 = 5{,}75 \cdot 6 \cdot 300 \cdot \log_2 \dfrac{p_2}{2{,}5}.\) Вычислим произведение: \(5{,}75 \cdot 6 \cdot 300 = 5{,}75 \cdot 1800 = 10350.\) Тогда уравнение примет вид: \(10350 = 10350 \cdot \log_2 \dfrac{p_2}{2{,}5}.\) Разделим обе части на \(10350\): \(1 = \log_2 \dfrac{p_2}{2{,}5}.\) По определению логарифма: \(\dfrac{p_2}{2{,}5} = 2^1 = 2.\) Отсюда: \(p_2 = 2 \cdot 2{,}5 = 5.\) Ответ: \(5\) атмосфер.

Водолазный колокол, содержащий \(\nu = 3\) моль воздуха объёмом \(V_1 = 16 \, \text{л}\), медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма \(V_2\) (в л). Работа \(A\) (в Дж), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле \(A = \alpha \nu T \log_2 \frac{V_1}{V_2}\), где \(\alpha = 9,9 \, \text{Дж/(моль⋅К)}\) — постоянная, \(T = 300 \, \text{К}\) — температура воздуха. Найдите, какой объём \(V_2\) будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа \(26 730\) Дж. Ответ дайте в литрах.

Подставим значения в формулу: \(26730 = 9{,}9 \cdot 3 \cdot 300 \cdot \log_2 \dfrac{16}{V_2}.\) \(26730 = 8910 \cdot \log_2 \dfrac{16}{V_2}.\) Разделим обе части на \(8910\): \(3 = \log_2 \dfrac{16}{V_2}.\) По определению логарифма: \(\dfrac{16}{V_2} = 2^3 = 8.\) Отсюда: \(V_2 = \dfrac{16}{8} = 2.\) Ответ: \(2\) литра.

На рисунке изображён график функции вида \(f (x) = kx+b\). Найдите значение \(f (4)\).

По графику прямая проходит через точки \((0;1)\) и \((1;3)\). Функция имеет вид: \(y=kx+b\) Подставим координаты точек в функцию: \(\begin{cases} 1=k\cdot0+b,\\ 3=k\cdot1+b. \end{cases}\) Получим систему: \(\begin{cases} b=1,\\ k+b=3. \end{cases}\) Подставим \(b=1\) во второе уравнение: \(k+1=3\) \(k=2\) Следовательно, \(f(x)=2x+1\) Найдём \(f(4)\): \(f(4)=2\cdot4+1=9\) Ответ: \(9\).