В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону \(H = H_0 + bt + at^2,\) где м, \(a = \dfrac{1}{30}\) м/мин\(^2\), \(b = -\dfrac{1}{3}\) м/мин. Определите время \(t\) (в минутах), пока вода вытекает из бака.

Вода вытекает, пока \(H(t) > 0\). В момент, когда бак опустеет, \(H = 0\). Подставим значения: \(0 = \dfrac{5}{8} - \dfrac{1}{3}t + \dfrac{1}{30}t^2.\) Умножим всё на общий знаменатель \(120\), чтобы избавиться от дробей: \(0 = 120 \cdot \dfrac{5}{8} - 120 \cdot \dfrac{1}{3}t + 120 \cdot \dfrac{1}{30}t^2.\) Упростим: \(0 = 75 - 40t + 4t^2.\) Перепишем: \(4t^2 - 40t + 75 = 0.\) Решим квадратное уравнение: \(D = 40^2 - 4 \cdot 4 \cdot 75 = 1600 - 1200 = 400.\) \(\sqrt{D} = 20.\) \(t = \dfrac{40 \pm 20}{2 \cdot 4} = \dfrac{40 \pm 20}{8}.\) Корни: \(t_1 = \dfrac{40 - 20}{8} = \dfrac{20}{8} = 2{,}5,\) \(t_2 = \dfrac{40 + 20}{8} = \dfrac{60}{8} = 7{,}5.\) Воды не останется в баке уже при \(t=2{,}5\). Ответ: \(2{,}5\) минуты.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью \(v_0 = 60\)км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением \(a = 18\) км/ч\(^2\). Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле \(s = v_0 t + \dfrac{at^2}{2}\) , где \(t\) — время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на \(21\)км. Ответ дайте в минутах.

Подставим значения в формулу: \(21 = 60t + \dfrac{18t^2}{2}.\) \(21 = 60t + 9t^2.\) \(9t^2 + 60t - 21 = 0.\) \(3t^2 + 20t - 7 = 0.\) Решим квадратное уравнение: \(D = 20^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 400 + 84 = 484.\) \(\sqrt{D} = 22.\) \(t = \dfrac{-20 \pm 22}{2 \cdot 3} = \dfrac{-20 \pm 22}{6}.\) Положительный корень: \(t = \dfrac{-20 + 22}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \text{ ч}.\) Переведём в минуты: \(\dfrac{1}{3} \cdot 60 = 20\) мин. Ответ: \(20\) минут.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью \(v_0 = 60\) км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением \(a = 32\) км/ч\(^2\). Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле \(s = v_0 t + \dfrac{at^2}{2},\) где \(t\) — время в часах. Определите время \(t\) (в минутах), если он удалился на \(154\) км.

Подставим значения в формулу: \(154 = 60t + \dfrac{32t^2}{2}.\) Упростим: \(154 = 60t + 16t^2.\) Перенесём всё в одну сторону: \(16t^2 + 60t - 154 = 0.\) Разделим на \(2\): \(8t^2 + 30t - 77 = 0.\) Решим квадратное уравнение: \(D = 30^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-77) = 900 + 2464 = 3364.\) \(\sqrt{D} = 58.\) \(t = \dfrac{-30 \pm 58}{2 \cdot 8} = \dfrac{-30 \pm 58}{16}.\) Положительный корень: \(t = \dfrac{-30 + 58}{16} = \dfrac{28}{16} = 1{,}75 \text{ ч}.\) Переведём в минуты: \(1{,}75 \cdot 60 = 105 \text{ мин}.\) Ответ: \(105\) минут.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью \(v_0 = 70\) км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением \(a = 16\) км/ч\(^2\). Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле \(s = v_0 t + \dfrac{at^2}{2}\), где \(t\) — время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на \(123\) км. Ответ дайте в минутах.

Подставим значения в формулу: \(123 = 70t + \dfrac{16t^2}{2}.\) \(123 = 70t + 8t^2.\) \(8t^2 + 70t - 123 = 0.\) Решим квадратное уравнение: \(D = 70^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-123) = 4900 + 3936 = 8836.\) \(\sqrt{D} = 94.\) \(t = \dfrac{-70 \pm 94}{2 \cdot 8} = \dfrac{-70 \pm 94}{16}.\) Положительный корень: \(t = \dfrac{-70 + 94}{16} = \dfrac{24}{16} = 1{,}5 \text{ ч}.\) Переведём в минуты: \(1{,}5 \cdot 60 = 90\)мин. Ответ: \(90\) минут.

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону \(\phi = \omega t + \dfrac{\beta t^2}{2},\) где \(t\) — время в минутах, \(\omega = 50\) град/мин — начальная угловая скорость, \(\beta = 4\) град/мин\(^2\) — угловое ускорение. Определите время \(t\), если угол намотки достиг \(2500^\circ\).

Подставим значения в формулу: \(2500 = 50t + \dfrac{4t^2}{2}.\) Упростим: \(2500 = 50t + 2t^2.\) Перенесём всё в одну сторону: \(2t^2 + 50t - 2500 = 0.\) Разделим на \(2\): \(t^2 + 25t - 1250 = 0.\) Решим квадратное уравнение: \(D = 25^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1250) = 625 + 5000 = 5625.\) \(\sqrt{D} = 75.\) \(t = \dfrac{-25 \pm 75}{2}.\) Положительный корень: \(t = \dfrac{-25 + 75}{2} = \dfrac{50}{2} = 25.\) Ответ: \(25\) минут.