Найдите значение выражения \(-9\sqrt{3} \operatorname{tg} \dfrac{\pi}{3} \sin \dfrac{5\pi}{6}\).

Найдём значения тригонометрических функций: \(\tg\dfrac{\pi}{3}=\sqrt{3}\), \(\sin\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{1}{2}\). Подставим в выражение, получим: \(-9\sqrt{3}\tg\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{5\pi}{6}=-9\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\cdot\dfrac{1}{2}=-9\cdot3\cdot\dfrac{1}{2}=-\dfrac{27}{2}=-13{,}5\). Ответ: \(-13{,}5\).

Сила тока \(I\) (в А) в электросети вычисляется по закону Ома: \(I = \dfrac{U}{R},\) где \(U = 220\) В — напряжение, \(R\) — сопротивление прибора (в Ом). Электросеть прекращает работать, если сила тока превышает \(8{,}8\) А. Определите наименьшее сопротивление прибора, при котором сеть продолжает работать.

Чтобы сеть работала, сила тока не должна превышать \(8{,}8\) А: \(\dfrac{220}{R} \le 8{,}8.\) Умножим обе части на \(R\) (оно положительное): \(220 \le 8{,}8R.\) Разделим на \(8{,}8\): \(R \ge \dfrac{220}{8{,}8}.\) Вычислим: \(\dfrac{220}{8{,}8} = \dfrac{2200}{88} = 25.\) Ответ: \(25\) Ом.

В розетку электросети подключена электрическая духовка, сопротивление которой \(R_1 = 21\) Ом. Параллельно с ней подключают тостер с сопротивлением \(R_2\) (в Ом). Общее сопротивление при параллельном соединении: \(R = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}.\)Для нормальной работы сети общее сопротивление должно быть не меньше \(18\) Ом. Найдите наименьшее возможное \(R_2\).

По условию: \(\dfrac{21 R_2}{21 + R_2} \ge 18.\) Умножим обе части на \(21 + R_2\) (положительное число): \(21 R_2 \ge 18(21 + R_2).\) Раскроем скобки: \(21 R_2 \ge 378 + 18 R_2.\) Перенесём \(18 R_2\) в левую часть: \(3 R_2 \ge 378.\) Разделим на \(3\): \(R_2 \ge 126.\) Ответ: \(126\) Ом.

К источнику с ЭДС \(\varepsilon = 130\) В и внутренним сопротивлением \(r = 1\) Ом подключают нагрузку \(R\) (в Ом). Напряжение на нагрузке вычисляется по формуле \(U = \dfrac{\varepsilon R}{R + r}.\) При каком \(R\) напряжение будет равно \(120\) В? Ответ дайте в омах.

Подставим известные значения: \(120 = \dfrac{130R}{R + 1}.\) Умножим обе части на \(R + 1\): \(120(R + 1) = 130R.\) Раскроем скобки: \(120R + 120 = 130R.\) Перенесём \(120R\) в правую часть: \(120 = 10R.\) Отсюда: \(R = 12.\) Ответ: \(12\) Ом.

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой \(f_0 = 192\) Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка \(f\) (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза \(v\) (в м/с) по закону \(f = \dfrac{f_0}{1 - \dfrac{v}{c}},\) где \(c = 300\) м/с — скорость звука. Человек различает сигналы, если они отличаются не менее чем на \(8\) Гц. Определите минимальную скорость \(v\), при которой сигналы будут различимы.

Частота второго гудка должна быть не меньше: \(f = f_0 + 8 = 192 + 8 = 200 \text{ Гц}.\) Подставим в формулу: \(200 = \dfrac{192}{1 - \dfrac{v}{300}}.\) Умножим обе части на знаменатель: \(200\left(1 - \dfrac{v}{300}\right) = 192.\) Раскроем скобки: \(200 - \dfrac{200v}{300} = 192.\) Упростим дробь: \(200 - \dfrac{2v}{3} = 192.\) Перенесём \(200\) в правую часть: \(-\dfrac{2v}{3} = -8.\) Умножим на \(-3\): \(2v = 24.\) \(v = 12.\) Ответ: \(12\) м/с.