Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой \(f_0 = 185\) МГц. Скорость погружения батискафа \(v\) (в м/с) вычисляется по формуле \(v = c \cdot \dfrac{f - f_0}{f + f_0},\) где \(c = 1500\) м/с — скорость звука в воде, \(f\) — частота отражённого сигнала (в МГц). Определите частоту \(f\), если \(v = 20\) м/с. Ответ дайте в МГц.

Подставим известные значения: \(20 = 1500 \cdot \dfrac{f - 185}{f + 185}.\) Разделим обе части на \(1500\): \(\dfrac{20}{1500} = \dfrac{f - 185}{f + 185}.\) Упростим левую часть: \(\dfrac{1}{75} = \dfrac{f - 185}{f + 185}.\) Решим пропорцию: \(1 \cdot (f + 185) = 75 \cdot (f - 185).\) Раскроем скобки: \(f + 185 = 75f - 75 \cdot 185.\) \(f + 185 = 75f - 13875.\) \(185 + 13875 = 75f - f.\) \(14060 = 74f.\) Разделим обе части на \(74\): \(f = \dfrac{14060}{74} = 190.\) Ответ: \(190\) МГц.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями \(u\) и \(v\) (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала \(f\) (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле где \(f_0 = 140\) Гц — частота исходного сигнала, \(c\) — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а \(u = 15\) м/с и \(v = 14\) м/с — скорости источника и приёмника относительно среды. При какой скорости \(c\) частота сигнала в приёмнике будет равна \(150\) Гц?

Подставим известные значения в формулу: \(150 = 140 \cdot \dfrac{c + 15}{c - 14}.\) Разделим обе части на \(140\): \(\dfrac{150}{140} = \dfrac{c + 15}{c - 14}.\) Упростим левую часть: \(\dfrac{15}{14} = \dfrac{c + 15}{c - 14}.\) Решим пропорцию: \(15(c - 14) = 14(c + 15).\) Раскроем скобки: \(15c - 210 = 14c + 210.\) Перенесём \(14c\) в левую часть, а числа — в правую: \(15c - 14c = 210 + 210.\) \(c = 420.\) Ответ: \(420\) м/с.

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием \(f = 36\) см. Расстояние \(d_1\) от линзы до лампочки может изменяться в пределах от \(30\) до \(50\) см, а расстояние \(d_2\) от линзы до экрана — в пределах от \(160\) до \(180\) см. Изображение будет чётким, если \(\dfrac{1}{d_1} + \dfrac{1}{d_2} = \dfrac{1}{f}.\) На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

Из формулы линзы выразим \(d_1\): \(\dfrac{1}{d_1} = \dfrac{1}{f} - \dfrac{1}{d_2}.\) Чтобы \(d_1\) было минимальным, \(\dfrac{1}{d_1}\) должно быть максимальным, то есть \(\dfrac{1}{d_2}\) должно быть минимальным. Это достигается при максимальном \(d_2\). Максимальное \(d_2 = 180\) см. Подставим: \(\dfrac{1}{d_1} = \dfrac{1}{36} - \dfrac{1}{180} = \dfrac{5}{180} - \dfrac{1}{180} = \dfrac{4}{180} = \dfrac{1}{45}.\) Отсюда: \(d_1 = 45.\) Проверим, что \(45\) см попадает в допустимый диапазон \([30; 50]\). Ответ: \(45\) см.

Автомобиль, движущийся со скоростью \(v_0 = 15\) м/с, начал торможение с постоянным ускорением \(a = 2\) м/с\(^2\). За \(t\) секунд после начала торможения он прошёл путь (в м) \(s = v_0 t - \dfrac{at^2}{2}.\) Определите время \(t\), если за это время автомобиль проехал \(36\) метров.

Подставим значения в формулу: \(36 = 15t - \dfrac{2t^2}{2}.\) Упростим: \(36 = 15t - t^2.\) Перенесём всё в одну сторону: \(t^2 - 15t + 36 = 0.\) Решим квадратное уравнение: \(D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 225 - 144 = 81.\) \(\sqrt{D} = 9.\) \(t = \dfrac{15 \pm 9}{2}.\) Получаем: \(t_1 = \dfrac{15 + 9}{2} = 12, \quad t_2 = \dfrac{15 - 9}{2} = 3.\) Проверим время остановки: \(v = v_0 - at = 0 \Rightarrow t_{\text{ост}} = \dfrac{15}{2} = 7{,}5 \text{ с}.\) Значит, \(t = 12\) с не подходит (автомобиль уже стоит). Остаётся \(t = 3\) с. Ответ: \(3\) секунды.

Автомобиль, движущийся со скоростью \(v_0 = 23 \, \text{м/с}\), начал торможение с постоянным ускорением \(a = 2 \, \text{м/с}^2\). За \(t\) секунд после начала торможения он прошёл путь (в м) \(s = v_0 t - \dfrac{at^2}{2}\). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 132 метра. Ответ дайте в секундах.

Подставим значения в формулу: \(132 = 23t - \dfrac{2t^2}{2}.\) Упростим: \(132 = 23t - t^2.\) Перенесём всё в одну сторону: \(t^2 - 23t + 132 = 0.\) Решим квадратное уравнение: \(D = 23^2 - 4 \cdot 1 \cdot 132 = 529 - 528 = 1.\) \(t = \dfrac{23 \pm 1}{2}.\) Получаем: \(t_1 = \dfrac{23 + 1}{2} = 12, \quad t_2 = \dfrac{23 - 1}{2} = 11.\) Проверим, за какое время автомобиль остановится: \(v = v_0 - at = 0 \quad \Rightarrow \quad t_{\text{ост}} = \dfrac{23}{2} = 11{,}5 \text{ с}.\) Значит, после \(11{,}5\) секунд автомобиль уже стоит. Путь \(132\) м он мог проехать только за время, не превышающее \(11{,}5\) с. Из двух корней подходит \(t = 11\) (так как \(12 > 11{,}5\)). Ответ: \(11\) секунд.