Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону \(h = 1,4 + 9t - 5t^2\), где \(h\) — высота в метрах, \(t\) — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее \(3\) метров?

Нужно найти время, когда \(h \ge 3\): \(1{,}4 + 9t - 5t^2 \ge 3.\) \(-5t^2 + 9t + 1{,}4 - 3 \ge 0,\) \(-5t^2 + 9t - 1{,}6 \ge 0.\) \(5t^2 - 9t + 1{,}6 \le 0.\) Решим уравнение: \(5t^2 - 9t + 1{,}6 = 0.\) Умножим на \(10\), чтобы избавиться от десятичной дроби: \(50t^2 - 90t + 16 = 0.\) Разделим на \(2\): \(25t^2 - 45t + 8 = 0.\) Дискриминант: \(D = 45^2 - 4 \cdot 25 \cdot 8 = 2025 - 800 = 1225.\) \(\sqrt{D} = 35.\) Корни: \(t = \dfrac{45 \pm 35}{2 \cdot 25} = \dfrac{45 \pm 35}{50}.\) \(t_1 = \dfrac{45 - 35}{50} = \dfrac{10}{50} = 0{,}2,\) \(t_2 = \dfrac{45 + 35}{50} = \dfrac{80}{50} = 1{,}6.\) Мяч находится на высоте не менее \(3\) м между этими моментами: \(\Delta t = t_2 - t_1 = 1{,}6 - 0{,}2 = 1{,}4.\) Ответ: \(1{,}4\) секунды.

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы: \(T = T_0 + bt + at^2,\) где \(t\) — время (в мин.), \(T_0 = 1380\) К, \(a = -15\) К/мин\(^2\), \(b = 165\) К/мин. При температуре свыше \(1800\) К прибор может испортиться. Найдите наибольшее время \(t\), после которого нужно отключить прибор.

Нужно найти момент, когда температура достигнет \(1800\) К: \(1800 = 1380 + 165t - 15t^2.\) Перенесём всё в одну сторону: \(-15t^2 + 165t + 1380 - 1800 = 0,\) \(-15t^2 + 165t - 420 = 0.\) Умножим на \(-1\): \(15t^2 - 165t + 420 = 0.\) Разделим на \(15\): \(t^2 - 11t + 28 = 0.\) Решим квадратное уравнение: \(D = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 121 - 112 = 9.\) \(\sqrt{D} = 3.\) \(t = \dfrac{11 \pm 3}{2}.\) Корни: \(t_1 = \dfrac{11 - 3}{2} = 4, \quad t_2 = \dfrac{11 + 3}{2} = 7.\) Температура превышает \(1800\) К между этими моментами (так как парабола с ветвями вниз). Наибольшее время, когда можно не отключать прибор, — это первый момент достижения \(1800\) К, то есть \(t = 4\) мин. Но если прибор уже нагрелся до \(1800\) К, его нужно отключить, чтобы не испортился. Значит, наибольшее время работы — \(4\) минуты. Ответ: \(4\) минуты.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением \(a\) (км/ч\(^2\)). Скорость \(v\) (в км/ч) вычисляется по формуле \(v = \sqrt{2la}\), где \(l\) — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение \(a\), если при \(l = 0{,}3\) км скорость равна \(120\) км/ч.

Подставим известные значения в формулу: \(120 = \sqrt{2 \cdot 0{,}3 \cdot a}.\) Возведём обе части в квадрат: \(120^2 = 2 \cdot 0{,}3 \cdot a.\) \(14400 = 0{,}6a.\) Разделим обе части на \(0{,}6\): \(a = \dfrac{14400}{0{,}6} = 24000.\) Ответ: \(24000\) км/ч\(^2\).

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением \(a\) (км/ч\(^2\)). Скорость \(v\) (в км/ч) вычисляется по формуле \(v = \sqrt{2la}\), где \(l\) — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение \(a\), если при \(l = 0{,}4\) км скорость равна \(80\) км/ч.

Подставим известные значения в формулу: \(80 = \sqrt{2 \cdot 0{,}4 \cdot a}.\) Возведём обе части в квадрат: \(80^2 = 2 \cdot 0{,}4 \cdot a.\) \(6400 = 0{,}8a.\) Разделим обе части на \(0{,}8\): \(a = \dfrac{6400}{0{,}8} = 8000.\) Ответ: \(8000\) км/ч\(^2\).

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением \(a\) (км/ч\(^2\)). Скорость \(v\) (в км/ч) вычисляется по формуле \(v = \sqrt{2la}\), где \(l\) — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение \(a\), если при \(l = 0{,}5\) км скорость равна \(70\) км/ч.

Подставим известные значения в формулу: \(70 = \sqrt{2 \cdot 0{,}5 \cdot a}.\) Возведём обе части в квадрат: \(70^2 = 2 \cdot 0{,}5 \cdot a.\) \(4900 = 1 \cdot a.\) Отсюда: \(a = 4900.\) Ответ: \(4900\) км/ч\(^2\).