Задание 16 ЕГЭ по математике профильной

Ограничения:
$\displaystyle \begin{cases} ( 4-x)\left( x^{2} +29\right)  >0\\ \ \ x^{2} -10x+24 >0\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 7-x >0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \ \ x< 4\\ \left[ \begin{array}{l l} x< 4\\ x >6 \end{array} \right.\\ \ \ x< 7 \end{cases}$
Возьмем первое неравенство, так как $x^2+29>0$, то можно сократить на $x^2+29$:
$4-x>0\Rightarrow x<4$
Возьмем второе неравенство:
$\displaystyle x^{2} -10x+24 >0\Rightarrow ( x-6)( x-4)  >0\Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x< 4\\ x >6 \end{array} \right.$
Выведем все точки на прямую:

Получаем:
$x\in (-\infty ;4)\\ \log_\frac{1}{3}((4-x)(x^2+29))\leq \log_\frac{1}{3}((x^2-10x+24)(7-x))$
Так как логарифм по основанию $\frac{1}{3}$ – монотонно убывающая функция, то при отбрасывании логарифмов, знак неравенства меняется на противоположный:
$(4-x)(x^2+29)\geq (x^2-10x+24)(7-x)\\ (4-x)(x^2+29)\geq (x-4)(x-6)(7-x)\\ (4-x)(x^2+29)\geq (4-x)(x-6)(x-7)$
При $x<4$ мы имеем, что $4-x>0$, поэтому можем сократить на $4-x$ без смены знака:
$x^2+29\geq (x-6)(x-7)\\ x^2+29\geq x^2-13x+42\\ 13x\geq 13\\ x\geq 1$
Учитывая ограничения, получаем:
$x\in [1;4)$
Ответ: $x\in [1;4)$.