Задание 16 ЕГЭ по математике профильной

$\log_{7}\left( 2+\frac{2}{x}\right) \leq \log_{7}\left(\frac{6+x}{x^{2}}\right) +\log_{7}( x+3)\\ \log_{7}\left( 2+\frac{2}{x}\right) \leq \log_{7}\left(\frac{( 6+x)( x+3)}{x^{2}}\right)$
Так как логарифм по основанию 7 монотонно возрастает, то равносильно:
$2+\frac{2}{x}\leq\frac{(6+x)(x+3)}{x^2}$
Если $\displaystyle \begin{cases} 2+\frac{2}{x} >0\\ x+3 >0 \end{cases}$, то и $\frac{6+x}{x^2}>0$
$\begin{cases} \frac{2x+2}{x} > 0 \\[5pt] x > -3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty) \\[2pt] x > -3 \end{cases}$
Получается $x\in (-3 ;-1)~\cup~( 0;+\infty )$
 
Переходим к неравенству: 
$2+\frac{2}{x}\leq\frac{(6+x)(x+3)}{x^2}\\ \frac{2x+2}{x}-\frac{(6+x)(x+3)}{x^2}\leq 0\\ \frac{2x^2+2x-6x-x^2-18-3x}{x^2}\leq 0\\ \frac{x^2-7x-18}{x^2}\leq 0\\ \frac{(x+2)(x-9)}{x^2}\leq 0$
$\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x\geq -2\\ x< 0 \end{cases}\\ \begin{cases} x >0\\ x\leq 9 \end{cases} \end{array} \right.$
Учитывая ограничения, получаем ответ
 
Ответ: $x\in [-2;-1)~\cup~(0;9]$