Задание 16 ЕГЭ по математике профильной

$\dfrac{2^{3x} - 9 \cdot 4^x + 3 \cdot 2^{x+3} - 16}{x - 2} \geq 0$
$2^{3x} = (2^x)^3,\quad 4^x = (2^x)^2,\quad 2^{x+3} = 8 \cdot 2^x$
$\text{Пусть } t = 2^x > 0$

Получим:$t^3 - 9t^2 + 3 \cdot 8t - 16 = t^3 - 9t^2 + 24t - 16$

Разложим на множители.

Проверим $t = 1:\ 1 - 9 + 24 - 16 = 0 \Rightarrow t-1 \text{ — множитель}$
$\text{Разделим } t^3 - 9t^2 + 24t - 16 \text{ на } t-1:$
$(t-1)(t^2 - 8t + 16) = (t-1)(t-4)^2$

Неравенство примет вид:

$\dfrac{(2^x - 1)(2^x - 4)^2}{x - 2} \geq 0$
Заменим множители в числителе равносильными по знаку по методу рационализации.

$\dfrac{(x -0)(x - 2)^2}{x - 2} \geq 0$

С учётом ограничения:$(-\infty;0] \cup (2;+\infty)$

Ответ:

$\ (-\infty; 0] \cup (2; +\infty)$