Задание 16 ЕГЭ по математике профильной

1. Запишем ограничения.
$\begin{cases} x^2 - 7x + 12 > 0,\\[4pt] \dfrac{(x - 3)^7}{x - 4} > 0. \end{cases}$
Разложим квадратный трёхчлен:
$(x^2 - 7x + 12) = (x - 3)(x - 4)$.
Тогда решение неравенства$(x - 3)(x - 4) > 0$ запишется так:
$x \in (-\infty; 3) \cup (4; +\infty)$.
Учитываем также $\dfrac{(x - 3)^7}{x - 4} > 0$. Так как $(x - 3)^7$ имеет тот же знак, что и $(x - 3)$, то
$\dfrac{(x - 3)^7}{x - 4} > 0 \Longleftrightarrow \dfrac{x - 3}{x - 4} > 0$, что даёт те же промежутки: $x \in (-\infty; 3) \cup (4; +\infty)$.
Итак, ограничения:
$x \in (-\infty; 3) \cup (4; +\infty)$.
2. Преобразуем неравенство.
$7 \log_3 ( (x - 3)(x - 4) ) \leq 8 + \log_3 \dfrac{(x - 3)^7}{x - 4}$.
Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x > 4$.
Тогда $x - 3 > 0$, $x - 4 > 0$, тогда логарифм в левой части можно представить в виде суммы логарифмов:
$\log_3 ( (x - 3)(x - 4) ) = \log_3 (x - 3) + \log_3 (x - 4)$.
Неравенство примет вид:
$7( \log_3 (x - 3) + \log_3 (x - 4) ) \leq 8 + \log_3 (x - 3)^7 - \log_3 (x - 4)$.
Так как $\log_3 (x - 3)^7 = 7 \log_3 (x - 3)$, получаем:
$7\log_3 (x - 3) + 7\log_3 (x - 4) \leq 8 + 7\log_3 (x - 3) - \log_3 (x - 4)$.
Сокращаем $7\log_3 (x - 3)$ слева и справа:
$7\log_3 (x - 4) \leq 8 - \log_3 (x - 4)$.
Переносим:
$8\log_3 (x - 4) \leq 8$.
$\log_3 (x - 4) \leq 1$.

$\log_3 (x - 4) \leq \log_3 3$
Так как основание $3 > 1$, функция $y=\log_3x$ возрастает:
$x - 4 \leq 3 \Longrightarrow x \leq 7$.
С учётом $x > 4$ получаем:
$4 < x \leq 7$.

Случай 2: $x < 3$.
Тогда $x - 3 < 0$, $x - 4 < 0$, произведение $(x - 3)(x - 4) > 0$. Используем модули:
$\log_3 ( (x - 3)(x - 4) ) = \log_3 ( |x - 3| \cdot |x - 4| ) = \log_3 |x - 3| + \log_3 |x - 4|$.
Анаогично
$\log_3 \dfrac{(x - 3)^7}{x - 4} = \log_3 \dfrac{|x - 3|^7}{|x - 4|} = 7\log_3 |x - 3| - \log_3 |x - 4|$.
Подставляем в исходное неравенство:
$7( \log_3 |x - 3| + \log_3 |x - 4| ) \leq 8 + 7\log_3 |x - 3| - \log_3 |x - 4|$.

$7 \log_3 |x - 3| + 7\log_3 |x - 4| \leq 8 + 7\log_3 |x - 3| - \log_3 |x - 4|.$
Уничтожаем в обеих частях $7\log_3 |x - 3|$:
$7\log_3 |x - 4| \leq 8 - \log_3 |x - 4|$.
Отсюда:
$8\log_3 |x - 4| \leq 8 \Longrightarrow \log_3 |x - 4| \leq 1$.
Тогда:
$|x - 4| \leq 3 \Longrightarrow -3 \leq x - 4 \leq 3 \Longrightarrow 1 \leq x \leq 7$.
С учётом $x < 3$ получаем:
$1 \leq x < 3$.
3. Объединяем оба случая:
$x \in [1; 3) \cup (4; 7]$.

Ответ:$\ [1; 3) \cup (4; 7]$