Задание 16 ЕГЭ по математике профильной

Сделаем замену $t = 2^x$, где $t > 0$.
Тогда $4^x = (2^x)^2 = t^2$.
Неравенство принимает вид:
$\dfrac{31 - 5t}{t^2 - 24t + 128} \geq 0,25.$
Перенесём $0{,}25=\frac14$ в левую часть и приведём дроби к общему знаменателю:
$\dfrac{31 - 5t}{t^2 - 24t + 128} - \dfrac{1}{4} \geq 0.$

$\dfrac{4(31 - 5t) - (t^2 - 24t + 128)}{4(t^2 - 24t + 128)} \geq 0.$
В числителе получим:
$124 - 20t - t^2 + 24t - 128 = -t^2 + 4t - 4 = -(t^2 - 4t + 4) = -(t - 2)^2$.
Тогда неравенство примет вид:
$\dfrac{-(t - 2)^2}{4(t^2 - 24t + 128)} \geq 0.$
Знаменатель разложим на множители:
$t^2 - 24t + 128 = (t - 8)(t - 16)$.
Таким образом:
$\dfrac{-(t - 2)^2}{4(t - 8)(t - 16)} \geq 0.$
$\dfrac{(t - 2)^2}{4(t - 8)(t - 16)} \leq 0.$

Отсюда:

$t=2$ или $8 < t < 16$.
Возвращаемся к переменной $x$:
$t = 2^x$.
Если $t = 2 \Longrightarrow 2^x = 2 \Longrightarrow x = 1$.
Если $8 < t < 16 \Longrightarrow 8 < 2^x < 16 \Longrightarrow 2^3 < 2^x < 2^4 \Longrightarrow 3 < x < 4$.
Объединяем: $\{1\} \cup (3; 4)$.

Ответ:

$\{1\} \cup (3; 4)$