Задание 16 ЕГЭ по математике профильной

Сделаем замену $t = 2^x$, где $t > 0$.
Тогда $4^x = (2^x)^2 = t^2$.
Неравенство примет вид:
$\dfrac{t}{t - 8} + \dfrac{t + 8}{t - 4} + \dfrac{66}{t^2 - 12t + 32} \leq 0.$
Разложим знаменатель третьей дроби на множители:
$t^2 - 12t + 32 = (t - 4)(t - 8)$.
Тогда неравенство запишется так:
$\dfrac{t}{t - 8} + \dfrac{t + 8}{t - 4} + \dfrac{66}{(t - 4)(t - 8)} \leq 0.$
$\dfrac{t(t - 4) + (t + 8)(t - 8) + 66}{(t - 4)(t - 8)} \leq 0.$
Раскроем скобки в числителе и приведём подобные слагаемые:
$t^2 - 4t + t^2 - 64 + 66 = 2t^2 - 4t + 2 = 2(t^2 - 2t + 1) = 2(t - 1)^2$.
Получаем:
$\dfrac{2(t - 1)^2}{(t - 4)(t - 8)} \leq 0.$
Отсюда: $t=1$ или$4 < t < 8$.
Объединяем с $t = 1$:
$t = 1 \quad \text{или} \quad 4 < t < 8.$
Возвращаемся к переменной $x$:
$t = 2^x$.
Случай 1: $t = 1 \Longrightarrow 2^x = 1 \Longrightarrow x = 0$.
Случай 2: $4 < t < 8 \Longrightarrow 4 < 2^x < 8 \Longrightarrow 2^2 < 2^x < 2^3 \Longrightarrow 2 < x < 3$.
Объединяем:
$x = 0 \quad \text{или} \quad 2 < x < 3.$
Значит, $\{0\} \cup (2; 3)$.

Ответ:

$\{0\} \cup (2; 3)$