Задание 16 ЕГЭ по математике профильной

$\dfrac{8^{x+\frac{2}{3}} - 9 \cdot 4^{x+\frac{1}{2}} + 13 \cdot 2^x - 13}{4^{x+\frac{1}{2}} - 9 \cdot 2^x + 4} \leq 2^{x+1} - \dfrac{1}{2^x - 2} + \dfrac{3}{2^{x+1} - 1}.$
Пусть
$t = 2^x, \quad t > 0.$
Преобразуем степени:
$8^{x+\frac{2}{3}} = (2^3)^{x+\frac{2}{3}} = 2^{3x+2} = 4 \cdot 2^{3x} = 4t^3.$
$4^{x+\frac{1}{2}} = (2^2)^{x+\frac{1}{2}} = 2^{2x+1} = 2 \cdot 2^{2x} = 2t^2.$
$2^{x+1} = 2t.$
Неравенство примет вид:
$\dfrac{4t^3 - 18t^2 + 13t - 13}{2t^2 - 9t + 4} \leq 2t - \dfrac{1}{t - 2} + \dfrac{3}{2t - 1}.$
Переносим всё в левую часть:
$\dfrac{4t^3 - 18t^2 + 13t - 13}{(2t - 1)(t - 4)} - 2t + \dfrac{1}{t - 2} - \dfrac{3}{2t - 1} \leq 0.$
Приводим к общему знаменателю$(2t - 1)(t - 2)(t - 4)\ne 0$, следовательно: $t\ne\dfrac12$, $t\ne 2$ и $t\ne 4$.

$\dfrac{2(t-3)}{(t - 2)(t - 4)} \leq 0.$

Отсюда:

$t\in\left(-\infty;\dfrac12\right)\cup\left(\dfrac12;2\right)\cup [3;4)$

Вернёмся к переменной $x$.

$2^x=\dfrac12$, следовательно, $x=-1$;

$2^x=2$, следовательно, $x=1$;

$2^x=3$, следовательно, $x=\log_23$;

$2^x=4$, следовательно, $x=2$.

Тогда ответ к неравенству запишется так: $x\in(-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup [\log_2 3; 2)$

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup [\log_2 3; 2)$