Прямолинейно движущийся поезд последние перед остановкой \(1\ 200\ \text{м}\) своего пути преодолел за \(2\ \text{мин} = 120\ \text{с}.\) Определите скорость поезда за \(30\ \text{с}\) до остановки. Ускорение поезда считать постоянным.

Пусть \(v_0\) — скорость поезда в начале торможения, \(a\) — модуль (положительное число) ускорения торможения, \(t\) — время торможения. По условию \(t=120\ \text{с}\) и пройденный путь при торможении \(s=1\ 200\ \text{м}.\) \(1)\) При равноускоренном движении от скорости \(v_0\) до нуля средняя скорость равна \(\dfrac{v_0+0}{2}=\dfrac{v_0}{2},\) поэтому пройденный путь равен произведению средней скорости на время. Получаем \(s=\dfrac{v_0}{2}\,t\,\) откуда \(v_0=\dfrac{2s}{t}\,\) Подставляем числа: \(v_0=\dfrac{2\cdot 1\ 200}{120}=20\ \text{м/с}\,\) \(2)\) Ускорение (модуль) равно отношению изменения скорости к времени: \(a=\dfrac{v_0}{t}=\dfrac{20}{120}=\dfrac{1}{6}\ \text{м/с}^2\approx 0.167\ \text{м/с}^2\,\) \(3)\) Нужна скорость поезда за \(30\ \text{с}\) до остановки, то есть в момент времени \(t_1=t-30=90\ \text{с}\) после начала торможения скорость равна \(v(t_1)=v_0-a t_1\,\) Подставляем числа: \(v=v_0-a\cdot 90=20-\dfrac{1}{6}\cdot 90=20-15=5\ \text{м/с}\,\) Ответ: \(5\ \text{м/с}.\)

Предмет расположен на горизонтальной главной оптической оси тонкой собирающей линзы. Фокусное расстояние линзы равно \(F = 30 \space \text{см}.\) Изображение предмета действительное, а увеличение составило \(k = 3.\) Найдите расстояние от предмета до линзы. Ответ приведите в сантиметрах.

\(1)\) Увеличение линзы определяется формулой:\(k = \dfrac{f}{d}\) где \(f\) — расстояние от линзы до изображения, \(d\) — расстояние от линзы до предмета. \(2)\) По условию увеличение равно \(3{:}\) \(\dfrac{f}{d} = 3 \Rightarrow f = 3d\) \(3)\) Используем формулу тонкой линзы: \(\dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{f}\) \(4)\) Подставляем выражение для \(f{:}\) \(\dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{3d} = \dfrac{3}{3d} + \dfrac{1}{3d} = \dfrac{4}{3d}\) \(5)\) Выражаем расстояние от предмета до линзы:\(d = \dfrac{4}{3}F = \dfrac{4}{3} \cdot 30 = 40 \space \text{см}\) Ответ: \(40 \space \text{см}\) расстояние от предмета до линзы.

С одним молем неона провели процесс, в котором газ из начального состояния с давлением \(p_1=10^5\ \text{Па}\) и объемом \(V_1=25\ \text{л}\) перешел в конечное состояние с объемом \(V_2=50\ \text{л}.\) Давление при этом изменялось по линейному закону \(p=p_0+\alpha V,\) где \(\alpha=\dfrac{p_1}{2V_1}.\) На какую величину изменилась при этом среднеквадратичная скорость движения атомов неона?

\(1)\) Введем в \(СИ\) объемы: \(V_1=25\cdot 10^{-3}\ \text{м}^3\) и \(V_2=50\cdot 10^{-3}\ \text{м}^3.\) \(2)\) Для одного моля идеального одноатомного газа уравнение состояния имеет вид \(pV=RT,\) отсюда температура \(T=\dfrac{pV}{R}.\) \(3)\) Среднеквадратичная скорость атомов массой \(M\) (молярная масса в кг/моль) равна \(v=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}}.\) Подставляя \(RT=pV\) для \(n=1\) получаем удобную формулу \(v=\sqrt{\dfrac{3pV}{M}}.\) \(4)\) В начальном состоянии среднеквадратичная скорость \(v_1=\sqrt{\dfrac{3p_1V_1}{M}}.\) Возьмем молярную массу неона \(M=20\cdot 10^{-3}\ \text{кг/моль}.\) Тогда численно \(v_1=\sqrt{\dfrac{3\cdot 10^5\cdot 25\cdot 10^{-3}}{20\cdot 10^{-3}}}=\sqrt{375000}\approx 612{.}4\ \text{м/с}\) \(5)\) По условию \(\alpha=\dfrac{p_1}{2V_1},\) поэтому давление в конце процесса равно \(p_2=p_1+\alpha(V_2-V_1)=p_1+\dfrac{p_1}{2V_1}(V_2-V_1)=p_1\cdot\dfrac{V_1+V_2}{2V_1}.\) Подставляя численно, получаем \(p_2=1{.}5\cdot 10^5\ \text{Па}.\) \(6)\) Тогда среднеквадратичная скорость в конце процесса \(v_2=\sqrt{\dfrac{3p_2V_2}{M}}.\) Численно \(v_2=\sqrt{\dfrac{3\cdot 1{.}5\cdot 10^5\cdot 50\cdot 10^{-3}}{20\cdot 10^{-3}}}=\sqrt{1125000}\approx 1060{.}7\ \text{м/с}\) \(7)\) Искомое изменение скорости равно \(v_2-v_1\approx 1060{.}7-612{.}4\approx 448\ \text{м/с}\) Итог: изменение среднеквадратичной скорости атомов неона равно \(448\ \text{м/с}.\)

Какая тепловая мощность выделяется на лампе \(4\) в цепи, собранной по схеме, изображенной на рисунке? Сопротивление каждой из ламп \(1\) и \(2\) равно \(R_1 = 20 \space \text{Ом},\) сопротивление каждой из ламп \(3\) и \(4\) равно \(R_2 = 10 \space \text{Ом}.\) Внутреннее сопротивление источника \(r = 5 \space \text{Ом},\) его ЭДС \(\mathcal{E} = 100 \space \text{В}.\)

\(1)\) Определяем эквивалентное сопротивление цепи. Лампы \(1\) и \(2\) соединены параллельно: \(R_{12} = \dfrac{R_1}{2} = \dfrac{20}{2} = 10 \space \text{Ом}\) \(2)\) Лампы \(3\) и \(4\) соединены параллельно: \(R_{34} = \dfrac{R_2}{2} = \dfrac{10}{2} = 5 \space \text{Ом}\) \(3)\) Участки \(R_{12}\) и \(R_{34}\) соединены последовательно: \(R_0 = R_{12} + R_{34} = 10 + 5 = 15 \space \text{Ом}\) \(4)\) Сила тока в цепи по закону Ома: \(I = \dfrac{\mathcal{E}}{R_0 + r} = \dfrac{100}{15 + 5} = \dfrac{100}{20} = 5 \space \text{А}\) \(5)\) Напряжение на участке с лампами \(3\) и \(4{:}\) \(U_{34} = I \cdot R_{34} = 5 \cdot 5 = 25 \space \text{В}\) \(6)\) Так как лампы \(3\) и \(4\) одинаковы и соединены параллельно, напряжение на каждой: \(U_3 = U_4 = U_{34} = 25 \space \text{В}\) \(7)\) Мощность на лампе \(4{:}\) \(P_4 = \dfrac{U_4^2}{R_2} = \dfrac{25^2}{10} = \dfrac{625}{10} = 62.5 \space \text{Вт}\) \(8)\) Или через ток: ток через каждую лампу \(3\) и \(4{:}\) \(I_4 = \dfrac{I}{2} = 2.5 \space \text{А}\) \(P_4 = I_4^2 R_2 = (2.5)^2 \cdot 10 = 6.25 \cdot 10 = 62.5 \space \text{Вт}\) Ответ: \(62.5 \space \text{Вт}\) тепловая мощность, выделяющаяся на лампе \(4.\)

Внутрь сферической поверхности помещена гантель. Масса большого шарика \(M = 60 \space \text{г}.\) Стержень, соединяющий шарики, невесом. Коэффициент трения между большим шариком и сферической поверхностью \(0.4.\) Трение между маленьким шариком и сферической поверхностью отсутствует. Определите, при каком значении массы шарика \(m\) гантель будет оставаться в неподвижном состоянии. Считать размеры шариков значительно меньшими, чем размер всей гантели. Какие законы Вы используете для описания равновесия штанги? Обоснуйте их применение к данному случаю.

Обоснование: \(1)\) Рассматриваем задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. \(2)\) Шарики считаем материальными точками. \(3)\) Применяем второй закон Ньютона для описания равновесия системы. \(4)\) Используем правило моментов для определения условий равновесия. \(5)\) Применяем закон трения покоя \(F_{\text{тр}} \leq \mu N.\) Решение \(1)\) На шарики действуют силы: на большой шарик: сила тяжести \(Mg,\) сила реакции \(N_1,\) сила трения \(F_{\text{тр}},\) сила натяжения стержня \(T\) на малый шарик: сила тяжести \(mg,\) сила реакции \(N_2,\) сила натяжения стержня \(T.\) \(2)\) Запишем условия равновесия по осям: По горизонтали: \(N_1- F_{\text{тр}} = 0\) По вертикали: \(N_2- Mg- mg = 0\) \(3)\) Из вертикального уравнения: \(N_2 = (M + m)g\) \(4)\) Условие неподвижности: \(F_{\text{тр}} \leq \mu N_2 = \mu g(M + m)\) \(5)\) Запишем правило моментов относительно оси, проходящей через точку контакта большого шарика:\(N_1 \cdot \dfrac{1}{\sin \alpha}- mg \cdot \dfrac{1}{\cos \alpha} = 0\) \(6)\) При \(\alpha = 45^\circ\) получаем: \(N_1 = mg\) \(7)\) Подставляем в условие неподвижности: \(mg \leq \mu g(M + m)\) \(8)\) Решаем неравенство относительно \(m{:}\) \(m \leq \mu M + \mu m\) \(m- \mu m \leq \mu M\) \(m(1- \mu) \leq \mu M\) \(m \leq \dfrac{\mu M}{1- \mu}\) \(9)\) Подставляем числовые значения: \(m \leq \dfrac{0.4 \cdot 60}{1- 0.4} = \dfrac{24}{0.6} = 40 \space \text{г}\) Ответ: \(m \leq 40 \space \text{г}.\)