На дифракционную решетку, имеющую период \(d = 5 \cdot 10^{-6} \space \text{м},\) падает нормально параллельный пучок зеленого света с длиной волны \(\lambda = 5.3 \cdot 10^{-7} \space \text{м}.\) Дифракционный максимум какого максимального порядка можно наблюдать при помощи этой дифракционной решетки?

\(1)\) Условие максимумов дифракционной решетки:\(d \sin \alpha = k \lambda\) где \(k\) — порядок дифракционного максимума. \(2)\) Максимальное значение синуса угла дифракции:\(\sin \alpha \leq 1\) \(3)\) Из условия максимума получаем ограничение:\(k \leq \dfrac{d}{\lambda}\) \(4)\) Подставляем числовые значения:\(k \leq \dfrac{5 \cdot 10^{-6}}{5.3 \cdot 10^{-7}} = \dfrac{5}{0.53} \approx 9.43\) \(5)\) Поскольку порядок \(k\) должен быть целым числом, наибольший возможный порядок: \(k_{max} = 9\) Ответ: \(9\) максимальный порядок дифракционного максимума.

В холодное зимнее время хозяева квартиры стали замерзать при температуре в комнате \(t=+18\ ^\circ\text{C}\) и, включив дополнительный обогреватель, добились повышения температуры на \(\Delta t=4\ ^\circ\text{C}.\) На сколько при этом изменилась масса воздуха в комнате? Площадь комнаты \(S=20\ \text{м}^2,\) высота потолка \(h=2{.}5\ \text{м},\) атмосферное давление \(p=10^5\ \text{Па},\) воздух в комнате свободно сообщается с атмосферой.

\(1)\) Объем комнаты \(V\) равен \(V=Sh=20\cdot 2{.}5=50\ \text{м}^3.\) \(2)\) Пользуемся уравнением Менделеева — Клапейрона \(pV=\dfrac{m}{\mu}RT,\) откуда масса воздуха при давлении \(p\) и температуре \(T\) равна \(m=\dfrac{p\mu V}{RT},\) где \(\mu\) — молярная масса воздуха, \(R=8{.}31\ Дж/(моль·К) .\) \(3)\) Обозначим абсолютные температуры до и после нагрева: \(T_1=273+18=291\ \text{К},\) \(T_2=T_1+\Delta t=291+4=295\ \text{К}.\) \(4)\) Из пункта \(2\) следует выражение для изменения массы \(\Delta m=m_1-m_2{:}\) \(\Delta m=\dfrac{p\mu V}{R}\Bigl(\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}\Bigr)\) где \(\mu\approx 0{.}029\ \text{кг/моль}.\) \(5)\) Подставим числовые значения: \(p=10^5\ \text{Па},\) \(V=50\ \text{м}^3,\) \(\mu=0{.}029\ \text{кг/моль},\) \(R=8{.}31\ Дж/(моль·К) ,\) \(T_1=291\ \text{К},\) \(T_2=295\ \text{К}.\) Считаем \(\dfrac{p\mu V}{R}= \dfrac{10^5\cdot 0{.}029\cdot 50}{8{.}31}\approx 17448{.}8\) \(\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}=\dfrac{1}{291}-\dfrac{1}{295}\approx 4{.}6595\cdot 10^{-5}\) Умножая, получаем \(\Delta m\approx 17448{.}8\cdot 4{.}6595\cdot 10^{-5}\approx 0{.}813\ \text{кг}\) \(6)\) Знак положительный означает, что масса воздуха уменьшилась на эту величину при нагреве (воздух частично вышел наружу), то есть масса уменьшилась на \(0{.}813\ \text{кг}.\) Ответ: масса воздуха в комнате изменилась на \(0{.}813\ \text{кг}\) (то есть \(813\ \text{г}\)).

В однородном электрическом поле с напряженностью \(E = 18 \space \text{В/м}\) находятся два точечных заряда: \(Q = -1 \space \text{нКл}\) и \(q = +5 \space \text{нКл}\) с массами \(M = 5 \space \text{г}\) и \(m = 10 \space \text{г}\) соответственно. На каком расстоянии \(d\) друг от друга находятся заряды, если их ускорения совпадают по величине и направлению? Сделайте рисунок с указанием всех сил, действующих на заряды. Силой тяжести пренебречь.

\(1)\) Направляем ось \(Ox\) по направлению напряженности электрического поля \(\vec{E}.\) \(2)\) На заряд \(q\) действуют силы: — Со стороны поля: \(F_1 = qE\) (вправо) — Со стороны заряда \(Q\): \(F = \dfrac{k|qQ|}{d^2}\) (притяжение, влево) \(3)\) На заряд \(Q\) действуют силы: — Со стороны поля: \(F_2 = |Q|E\) (влево, т.к. \(Q 0\)). Приравниваем ускорения из (1) и (2): \(\dfrac{qE-F}{m} = \dfrac{F-|Q|E}{M}\) \(6)\) Умножаем обе части на \(mM\): \(M(qE -F) = m(F-|Q|E)\) \(MqE- MF = mF- m|Q|E\) \(7)\) Переносим слагаемые с \(F\) в одну сторону: \(MqE + m|Q|E = mF + MF\) \(E(Mq + m|Q|) = F(m + M)\) \(8)\) Выражаем расстояние \(d\): \(F = \dfrac{k|qQ|}{d^2} = \dfrac{E(Mq + m|Q|)}{m + M}\) \(d^2 = \dfrac{k|qQ|(m + M)}{E(Mq + m|Q|)}\) \(9)\) Подставляем числовые значения: — \(k = 9 \cdot 10^9 \space \text{Нм}^2/\text{Кл}^2\) — \(q = 5 \cdot 10^{-9} \space \text{Кл},\) \(Q = -1 \cdot 10^{-9} \space \text{Кл}\) — \(m = 0.01 \space \text{кг},\) \(M = 0.005 \space \text{кг}\) — \(E = 18 \space \text{В/м}\) \(10)\) Вычисляем: \(d^2 = \dfrac{9 \cdot 10^9 \cdot 5 \cdot 10^{-9} \cdot 1 \cdot 10^{-9} \cdot (0.01 + 0.005)}{18 \cdot (0.005 \cdot 5 \cdot 10^{-9} + 0.01 \cdot 1 \cdot 10^{-9})}\) \(d^2 = \dfrac{9 \cdot 10^9 \cdot 5 \cdot 10^{-9} \cdot 10^{-9} \cdot 0.015}{18 \cdot (25 \cdot 10^{-12} + 10 \cdot 10^{-12})}\) \(d^2 = \dfrac{6.75 \cdot 10^{-10}}{18 \cdot 35 \cdot 10^{-12}} = \dfrac{6.75 \cdot 10^{-10}}{630 \cdot 10^{-12}} = \dfrac{6.75}{0.63} \approx 10.71\) \(d \approx \sqrt{10.71} \approx 1.03 \space \text{м}\) Ответ: \(d \approx 1.0 \space \text{м}\) расстояние между зарядами.

Какое ускорение \(a\) поступательного движения можно сообщить однородному кубику, находящемуся на шероховатой горизонтальной плоскости, прикладывая к его верхнему ребру горизонтальную силу в плоскости симметрии кубика (см. рис.)? Коэффициент трения кубика о плоскость равен \(\mu = 0.4.\) Какие законы Вы используете для описания движения кубика? Обоснуйте их применение к данному случаю.

Обоснование: \(1)\) Рассматриваем задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. \(2)\) Для описания поступательного движения считаем кубик материальной точкой. \(3)\) Применяем второй закон Ньютона для описания движения центра масс. \(4)\) Используем правило моментов для исключения вращения кубика. \(5)\) Применяем закон трения скольжения \(F_{\text{тр}} = \mu N.\) Решение: \(1)\) На кубик действуют силы: — приложенная сила \(F\) (горизонтальная); — сила тяжести \(mg\) (вертикальная); — сила реакции опоры \(N\) (вертикальная); — сила трения \(F_{\text{тр}}\) (горизонтальная). \(2)\) Запишем второй закон Ньютона: По горизонтали:\(ma = F- F_{\text{тр}}\) По вертикали:\(N = mg\) \(3)\) Сила трения скольжения:\(F_{\text{тр}} = \mu N = \mu mg\) \(4)\) Чтобы кубик не опрокидывался, сумма моментов сил относительно центра масс должна быть равна нулю. Рассмотрим предельный случай, когда сила реакции приложена к переднему ребру кубика. \(5)\) Обозначим длину ребра кубика через \(b.\) Моменты сил относительно центра масс: Момент силы \(F{:}\) \(F \cdot \dfrac{b}{2}\) (по часовой стрелке) Момент силы трения: \(F_{\text{тр}} \cdot \dfrac{b}{2}\) (по часовой стрелке) Момент силы реакции: \(N \cdot \dfrac{b}{2}\) (против часовой стрелки) \(6)\) Условие равновесия моментов:\(F \cdot \dfrac{b}{2} + F_{\text{тр}} \cdot \dfrac{b}{2} = N \cdot \dfrac{b}{2}\) \(7)\) Сократим \(\dfrac{b}{2}{:}\) \(F + F_{\text{тр}} = N\) \(8)\) Подставим \(F_{\text{тр}} = \mu mg\) и \(N = mg{:}\) \(F + \mu mg = mg\) \(F = mg(1- \mu)\) \(9)\) Из уравнения движения: \(ma = F- \mu mg = mg(1- \mu)- \mu mg = mg(1- 2\mu)\) \(10)\) Выразим ускорение:\(a = g(1- 2\mu)\) \(11)\) Подставим числовые значения \(g = 10 \space \text{м/с}^2,\) \(\mu = 0.4{:}\) \(a = 10 \cdot (1- 2 \cdot 0.4) = 10 \cdot (1- 0.8) = 10 \cdot 0.2 = 2 \space \text{м/с}^2\) Ответ: \(2 \space \text{м/с}^2\) максимальное ускорение поступательного движения кубика.

На рисунке показан график зависимости проекции \(v_x\) скорости тела от времени \(t.\) Какова проекция \(a_x\) ускорения этого тела в интервале времени от \(1\) до \(1.5\space с?\) Ответ запишите в \(м/с ^2.\)

\(1.\) Определяем значения скорости в заданных моментах времени: \(v_x(1 \text{ с}) = 6 \text{ м/с}\) \(v_x(1.5 \text{ с}) = 2 \text{ м/с}\) \(2.\) Вычисляем изменение скорости: \(\Delta v_x = v_x(1.5 \text{ с})-v_x(1 \text{ с}) = 2-6 = -4 \text{ м/с}\) \(3.\) Находим временной интервал: \(\Delta t = 1.5 \text{ с}-1 \text{ с} = 0.5 \text{ с}\) \(4.\) Рассчитываем проекцию ускорения: \(a_x = \frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{-4 \text{ м/с}}{0.5 \text{ с}} = -8 \text{ м/с}^2\)