Сосуд объемом \(V=10\ \text{л}\) содержит смесь водорода и гелия общей массой \(m=2\ \text{г}\) при температуре \(t=27\ ^\circ\text{C}\) и давлении \(p=200\ \text{кПа}.\) Каково отношение массы водорода к массе гелия в смеси?

\(1)\) Переведем величины в систему \(СИ\) и введем обозначения. \(V=10\ \text{л}=10\cdot 10^{-3}\ \text{м}^3=0{.}01\ \text{м}^3,\) \(m=2\ \text{г}=0{.}002\ \text{кг},\) \(T=27\ ^\circ\text{C}=300\ \text{К},\) \(p=200\ \text{кПа}=200\cdot 10^3\ \text{Па}.\) Молярные массы: \(\mu_{\text{H}2}=2\cdot 10^{-3}\ \text{кг/моль},\) \(\mu_{\text{He}}=4\cdot 10^{-3}\ \text{кг/моль}.\) Универсальная газовая постоянная \(R=8{.}31\ Дж/(моль·К) .\) \(2)\) По уравнению Менделеева — Клапейрона для каждой компоненты смеси имеем \(p_iV=\dfrac{m_i}{\mu_i}RT\) в частности \(p_{\text{H}_2}V=\dfrac{m_{\text{H}_2}}{\mu_{\text{H}_2}}RT\) \(p_{\text{He}}V=\dfrac{m_{\text{He}}}{\mu_{\text{He}}}RT\) По закону Дальтона \(p=p_{\text{H}2}+p_{\text{He}}\) и массы связаны соотношением \(m=m_{\text{H}2}+m_{\text{He}}.\) \(3)\) Подставим \(p_{\text{H}_2}=\dfrac{m_{\text{H}_2}RT}{\mu_{\text{H}_2}V}\) и \(p_{\text{He}}=\dfrac{m_{\text{He}}RT}{\mu_{\text{He}}V}\) в сумму давлений: \(p=\dfrac{RT}{V}\Bigl(\dfrac{m_{\text{H}_2}}{\mu_{\text{H}_2}}+\dfrac{m_{\text{He}}}{\mu_{\text{He}}}\Bigr)\) Пусть \(m_{\text{H}2}=x,\) тогда \(m_{\text{He}}=m-x.\) Тогда \(\dfrac{pV}{RT}=\dfrac{x}{\mu_{\text{H}_2}}+\dfrac{m-x}{\mu_{\text{He}}}\) Решая это уравнение относительно \(x,\) получаем \(x=\dfrac{\dfrac{pV}{RT}-\dfrac{m}{\mu_{\text{He}}}}{\dfrac{1}{\mu_{\text{H}2}}-\dfrac{1}{\mu_{\text{He}}}}\) \(4)\) Найдем численно необходимые величины. Сначала число молей, определяемое из давления и объема: \(\dfrac{pV}{RT}=\dfrac{200\cdot 10^3\cdot 0{.}01}{8{.}31\cdot 300}\approx 0{.}8026\) \(\dfrac{m}{\mu_{\text{He}}}=\dfrac{0{.}002}{4\cdot 10^{-3}}=0{.}5\) \(\dfrac{1}{\mu_{\text{H}2}}-\dfrac{1}{\mu_{\text{He}}}=\dfrac{1}{2\cdot 10^{-3}}-\dfrac{1}{4\cdot 10^{-3}}=500-250=250\ \text{(моль/кг)}\) \(x=\dfrac{0{.}8026-0{.}5}{250}\approx 0{.}001210\ \text{кг}\) Это масса водорода в смеси. Масса гелия \(m_{\text{He}}=m-x=0{.}002-0{.}001210=0{.}000790\ \text{кг}\) \(5)\) Отношение масс равно \(\dfrac{m_{\text{H}2}}{m_{\text{He}}}=\dfrac{0{.}001210}{0{.}000790}\approx 1{.}53\) Ответ: отношение массы водорода к массе гелия в смеси примерно \(1{.}53.\)

Незаряженный конденсатор с емкостью \(C = 0.1 \space \text{мкФ}\) подключают к источнику тока по схеме, показанной на рисунке. Сопротивление резистора \(R = 500 \space \text{Ом},\) сопротивлением проводов и внутренним сопротивлением источника можно пренебречь. После замыкания ключа \(K\) на резисторе выделяется тепло равное \(Q = 7.2 \space \text{мкДж}.\) Чему равно \(ЭДС\) источника?

\(1)\) При замыкании цепи конденсатор заряжается до напряжения, равного \(ЭДС\) источника. \(2)\) Работа, совершенная источником тока: \(A = q \mathcal{E} = C \mathcal{E} \cdot \mathcal{E} = C \mathcal{E}^2\) \(3)\) Энергия, запасенная в конденсаторе:\(W_p = \dfrac{C \mathcal{E}^2}{2}\) \(4)\) По закону сохранения энергии работа источника равна сумме теплоты на резисторе и энергии конденсатора:\(A = Q + W_p\) \(C \mathcal{E}^2 = Q + \dfrac{C \mathcal{E}^2}{2}\) \(5)\) Переносим слагаемые:\(C \mathcal{E}^2-\dfrac{C \mathcal{E}^2}{2} = Q\) \(\dfrac{C \mathcal{E}^2}{2} = Q\) \(6)\) Выражаем \(ЭДС\) источника:\(\mathcal{E}^2 = \dfrac{2Q}{C}\) \(\mathcal{E} = \sqrt{\dfrac{2Q}{C}}\) \(7)\) Подставляем числовые значения: \(\mathcal{E} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 7.2 \cdot 10^{-6}}{0.1 \cdot 10^{-6}}} = \sqrt{\dfrac{14.4}{0.1}} = \sqrt{144} = 12 \space \text{В}\) Ответ: \(\mathcal{E} = 12 \space \text{В}\) \(ЭДС\) источника тока.

Дан невесомый стержень, к концам которого подвешены шары массами \(m_1\) и \(m_2.\) Стержень опирается на две опоры в точках \(C\) и \(D.\) Длина стержня \(L\) равна \(1 \space \text{м},\) \(m_2 = 0.3 \space \text{кг}.\) Сила реакции опоры в точке \(D\) в два раза больше, чем в точке \(C.\) Также известно, что расстояния \(CD = 0.6 \space \text{м},\) \(AC = 0.2 \space \text{м}.\) Найдите массу левого шарика \(m_1.\) Какие законы Вы используете для описания равновесия тела? Обоснуйте их применение к данному случаю.

Обоснование: \(1)\) Рассматриваем задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. \(2)\) Стержень и шары считаем абсолютно твердыми телами. \(3)\) Применяем условия равновесия твердого тела: — сумма внешних сил равна нулю — сумма моментов внешних сил равна нулю \(4)\) Стержень невесомый, поэтому учитываем только силы тяжести шаров и реакции опор. Решение: \(1)\) Обозначим расстояния: \(AC = a = 0.2 \space \text{м};\) \(CD = b = 0.6 \space \text{м};\) \(DB = c = L- a- b = 1- 0.2- 0.6 = 0.2 \space \text{м}.\) \(2)\) Запишем правило моментов относительно точки \(C{:}\) \(m_1g \cdot a + N_D \cdot b- m_2g \cdot (b + c) = 0\) \(3)\) Выразим \(N_D{:}\) \(N_D = \dfrac{m_2g(b + c)- m_1ga}{b}\) \(4)\) Запишем правило моментов относительно точки \(D{:}\) \(m_1g \cdot (a + b)- N_C \cdot b- m_2g \cdot c = 0\) \(5)\) Выразим \(N_C{:}\) \(N_C = \dfrac{m_1g(a + b)- m_2gc}{b}\) \(6)\) По условию \(N_D = 2N_C.\) Подставим выражения: \(\dfrac{m_2g(b + c)- m_1ga}{b} = 2 \cdot \dfrac{m_1g(a + b)- m_2gc}{b}\) \(7)\) Сократим \(g\) и \(b{:}\) \(m_2(b + c)- m_1a = 2m_1(a + b)- 2m_2c\) \(8)\) Перенесем все члены в одну сторону: \(m_2(b + c) + 2m_2c- m_1a- 2m_1(a + b) = 0\) \(9)\) Упростим: \(m_2(b + 3c)- m_1(3a + 2b) = 0\) \(10)\) Выразим \(m_1{:}\) \(m_1 = \dfrac{m_2(b + 3c)}{3a + 2b}\) \(11)\) Подставим числовые значения: \(m_1 = \dfrac{0.3 \cdot (0.6 + 3 \cdot 0.2)}{3 \cdot 0.2 + 2 \cdot 0.6} = \dfrac{0.3 \cdot (0.6 + 0.6)}{0.6 + 1.2} = \dfrac{0.3 \cdot 1.2}{1.8} = \dfrac{0.36}{1.8} = 0.2 \space \text{кг}\) Ответ: \(0.2 \space \text{кг}\) масса левого шарика \(m_1.\)

Небольшое тело движется вдоль горизонтальной оси \(Ox\). В момент времени \(t = 0\space с\) координата этого тела равна \(x_0 = 2\space м.\) На рисунке приведена зависимость проекции скорости \(v_x\) этого тела на ось \(Ox\) от времени \(t.\) Чему равна координата тела в момент времени \(t = 4\space с?\)

\(1.\) Определяем параметры движения из графика: \(v_0 = 4 \text{ м/с}, \quad a = -1 \text{ м/с}^2\) \(2.\) Используем формулу для координаты при равноускоренном движении: \(x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{a t^2}{2}\) \(3.\) Подставляем известные значения: \(x(t) = 2 + 4t-0.5 t^2\) \(4.\) Вычисляем координату при \(t = 4\space с{:}\) \(x(4) = 2 + 4 \cdot 4-0.5 \cdot 16 = 2 + 16-8 = 10 \text{ м}\)

Модуль силы гравитационного взаимодействия двух точечных тел, расположенных на расстоянии четырех метров друг от друга, равен \(5\space Н.\) Каков будет модуль силы гравитационного взаимодействия этих тел, если расстояние между ними увеличить на \(1\space м?\) Ответ дайте в ньютонах.

\(1.\) Исходные данные: Начальное расстояние \(R_1 = 4\space м\) Начальная сила \(F_1 = 5\space Н\) Новое расстояние \(R_2 = R_1 + 1 = 5\space м\) \(2.\) По закону всемирного тяготения: \(\frac{F_1}{F_2} = \frac{R_2^2}{R_1^2}\) \(3.\) Вычисляем новую силу: \(F_2 = F_1 \cdot \frac{R_1^2}{R_2^2} = 5 \cdot \frac{16}{25} = 3,2\,\text{Н}\)