Задание 26 ЕГЭ по физике

Обоснование:

Систему отсчета, связанную с Землей, считаем инерциальной.
Брусок и доска движутся поступательно, поэтому их можно описывать моделью материальной точки. В инерциальной системе отсчета движение материальной точки описывается вторым законом Ньютона.
Нить невесома, а блок идеальный (без трения), поэтому сила натяжения нити одинакова по обе стороны блока: $T_1 = T_2 = T.$
Нить нерастяжима, поэтому ускорения бруска и доски равны по модулю: $a_1 = a_2 = a.$
Силы трения скольжения определяются как $F_{тр1} = \mu_1 N_1$ (между бруском и доской) и $F_{тр2} = \mu_2 N_2$ (между доской и поверхностью).

Силы, действующие на тела.

На брусок:
— Сила тяжести: $m\vec{g}$ (вниз).
— Сила натяжения нити: $\vec{T}$ (вправо).
— Сила реакции опоры: $\vec{N}1$ (вверх). — Сила трения между бруском и доской: $\vec{F}{тр1}$ (влево).

На доску:
— Сила тяжести: $M\vec{g}$ (вниз).
— Вес бруска (по третьему закону Ньютона): $\vec{P} = -\vec{N}1$ (вниз). — Сила натяжения нити: $\vec{T}$ (влево). — Сила трения между доской и поверхностью: $\vec{F}{тр2}$ (влево).
— Внешняя сила: $\vec{F}$ (вправо).
— Сила реакции опоры стола: $\vec{N}_2$ (вверх).

Запишем второй закон Ньютона в проекциях.

Для бруска $( m )$:
$Ox: ma = T- F_{тр1}$ $Oy: 0 = N_1- mg$
Для доски $(M)$: $Ox: Ma = F- F_{тр1}- F_{тр2}- T$ $Oy: 0 = N_2- N_1- Mg$Выразим силы трения:
$F_{тр1} = \mu_1 N_1 = \mu_1 mg$ $F_{тр2} = \mu_2 N_2 = \mu_2 (N_1 + Mg) = \mu_2 (mg + Mg)$

Подставим $F_{тр1}$ и $F_{тр2}$ в уравнения:

$ma = T- \mu_1 mg \quad (1)$$Ma = F- \mu_1 mg- \mu_2 (m + M)g- T \quad (2)$
Сложим уравнения $(1)$ и $(2),$ чтобы исключить $T$:
$ma + Ma = F- \mu_1 mg- \mu_2 (m + M)g- \mu_1 mg$
Упростим: $a(m + M) = F- 2\mu_1 mg- \mu_2 (m + M)g$
Выразим $m$: $m(a + 2\mu_1 g + \mu_2 g) = F- M(a + \mu_2 g)$
$m = \frac{F- M(a + \mu_2 g)}{a + g(2\mu_1 + \mu_2)}$
Подставим числовые значения: $m = \frac{6- 0.8(1 + 0.3 \cdot 10)}{1 + 10(2 \cdot 0.5 + 0.3)} = \frac{6- 0.8 \cdot 4}{1 + 10 \cdot 1.3}$ $= \frac{6- 3.2}{1 + 13} = \frac{2.8}{14} = 0.2 \, \text{кг}$
Ответ: масса бруска $m = 0.2 \, \text{кг}.$