Задание 26 ЕГЭ по физике

Обоснование:

Систему отсчета, связанную с Землей, считаем инерциальной.
Грузы движутся поступательно, поэтому их можно описывать моделью материальной точки.
Нить невесома, а блок идеальный (без трения), поэтому сила натяжения нити одинакова по обе стороны блока: $T_1 = T_2 = T.$
Нить нерастяжима, поэтому ускорения всех грузов равны по модулю: $a_1 = a_2 = a.$
Пружина легкая, поэтому силы упругости, действующие на оба груза, равны: $F_{\text{упр1}} = F_{\text{упр2}} = F_{\text{упр}}.$
Трением пренебрегаем, так как плоскость гладкая.
В инерциальной системе отсчета движение описывается вторым законом Ньютона.

Силы, действующие на тела.

Груз $M$:
— Сила тяжести: $M\vec{g}$ (вниз).
— Сила натяжения нити: $\vec{T}$ (вверх).

Нижний груз $m$:
— Сила тяжести: $m\vec{g}$ (вертикально вниз).
— Сила упругости пружины: $\vec{F}_{\text{упр}}$ (вверх вдоль плоскости).
— Сила реакции опоры: $\vec{N}_1$ (перпендикулярно плоскости).

Верхний груз $m$:
— Сила тяжести: $m\vec{g}$ (вертикально вниз).
— Сила упругости пружины: $\vec{F}_{\text{упр}}$ (вниз вдоль плоскости).
— Сила натяжения нити: $\vec{T}$ (вверх вдоль плоскости).
— Сила реакции опоры: $\vec{N}_2$ (перпендикулярно плоскости).

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на ось вдоль наклонной плоскости ($Ox$) и перпендикулярно ей ($Oy$).

Для груза $M$:
$Ma = Mg- T \quad (1)$Для нижнего груза $m$: $ma = F_{\text{упр}}- mg \sin \alpha \quad (2)$Для верхнего груза $m$:$ma = T- F_{\text{упр}}- mg \sin \alpha \quad (3)$

Сложим уравнения $(2)$ и $(3)$:
$2ma = T- 2mg \sin \alpha \quad (4)$

Выразим $T$ из уравнения $(1)$:
$T = Mg- Ma \quad (5)$

Подставим $(5)$ в $(4)$:
$2ma = Mg- Ma- 2mg \sin \alpha$Перенесем все члены с $a$ влево:
$2ma + Ma = Mg- 2mg \sin \alpha$ Выразим ускорение $a$:
$a(2m + M) = g(M- 2m \sin \alpha)$$a = \frac{g(M- 2m \sin \alpha)}{2m + M} \quad (6)$

Из уравнения $(2)$ выразим силу упругости:
$F_{\text{упр}} = ma + mg \sin \alpha \quad (7)$

Подставим $(6)$ в $(7)$:
$F_{\text{упр}} = m \cdot \frac{g(M- 2m \sin \alpha)}{2m + M} + mg \sin \alpha$Упростим выражение:
$F_{\text{упр}} = \frac{Mmg- 2m^2 g \sin \alpha}{2m + M} + mg \sin \alpha$ $= \frac{Mmg + 2m^2 g \sin \alpha + Mmg \sin \alpha- 2m^2 g \sin \alpha}{2m + M}$
$F_{\text{упр}} = \frac{Mmg (1 + \sin \alpha)}{2m + M} \quad (8)$

По закону Гука:
$F_{\text{упр}} = k(L- l) \quad (9)$

Приравняем $(8)$ и $(9)$ и выразим $L$:
$k(L- l) = \frac{Mmg (1 + \sin \alpha)}{2m + M}$
$L = \frac{Mmg (1 + \sin \alpha)}{k(2m + M)} + l$

Подставим числовые значения:
$L = \frac{2 \cdot 0.25 \cdot 10 \cdot (1 + 0.5)}{20 \cdot (2 \cdot 0.25 + 2)} + 0.15$ $= \frac{7.5}{50} + 0.15 = 0.15 + 0.15 = 0.3 \, \text{м} = 30 \, \text{см}$
Ответ: длина пружины во время движения $L = 30 \, \text{см}.$