Задание 26 ЕГЭ по физике

Обоснование:

Систему отсчета, связанную со столом, считаем инерциальной.
Тела движутся поступательно, поэтому их можно описывать моделью материальной точки.
Нить нерастяжима, поэтому ускорения бруска и груза равны: $a_1 = a_2 = a.$
Блок невесомый и гладкий, поэтому силы натяжения нити по обе стороны блока равны: $T_1 = T_2 = T.$
Трением в блоке и о воздух пренебрегаем.

Силы, действующие на систему.

На брусок:
— Сила тяжести: $M\vec{g}$ (вниз).
— Сила реакции опоры: $\vec{N}$ (вверх).
— Сила трения: $\vec{F}_{\text{тр}} = -\mu \vec{N}$ (против движения).
— Сила натяжения нити: $\vec{T}$ (вправо).
— Внешняя сила: $\vec{F}$ (под углом $\alpha$ к горизонту).

На груз:
— Сила тяжести: $m\vec{g}$ (вниз).
— Сила натяжения нити: $\vec{T}$ (вверх).

Уравнения движения (в проекциях).

Для бруска (ось $Ox$ — горизонтальная, ось $Oy$ — вертикальная):
$F \cos \alpha- T- F_{\text{тр}} = Ma \quad (1)$ $N + F \sin \alpha = Mg\quad (2)$
Для груза (ось $Oy$ — вертикальная):
$T- mg = ma \quad (3)$
Выразим силу трения из $(2)$:
$N = Mg- F \sin \alpha$ $F_{\text{тр}} = \mu N = \mu (Mg- F \sin \alpha)$
Подставим $F_{\text{тр}}$ в $(1)$:
$F \cos \alpha- T — \mu (Mg- F \sin \alpha) = Ma \quad (4)$
Выразим $T$ из $(3)$: $T = ma + mg\quad (5)$
Подставим $(5)$ в $(4)$:
$F \cos \alpha- (ma + mg) — \mu (Mg- F \sin \alpha) = Ma$ Раскроем скобки:
$F \cos \alpha- ma- mg- \mu Mg + \mu F \sin \alpha = Ma$ Перенесем все члены с $a$ влево:
$-ma- Ma = -F \cos \alpha + mg + \mu Mg- \mu F \sin \alpha$ Умножим на $-1$:
$(M + m)a = F (\cos \alpha + \mu \sin \alpha)- g(m + \mu M)$
Найдем ускорение $a$:
$a = \frac{F (\cos \alpha + \mu \sin \alpha)- g(m + \mu M)}{M + m}$ Подставим числовые значения:
$a = \frac{9 (\cos 30^\circ + 0.3 \sin 30^\circ)- 10 (0.5 + 0.3 \cdot 1)}{1 + 0.5}$ Вычислим тригонометрические функции: $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866, \quad \sin 30^\circ = 0.5$ Тогда:
$a = \frac{9 (0.866 + 0.3 \cdot 0.5)- 10 \cdot 0.8}{1.5} = \frac{9 (0.866 + 0.15)- 8}{1.5}$ $= \frac{9 \cdot 1.016- 8}{1.5} \approx \frac{9.144- 8}{1.5} \approx 0.763 \, \text{м/с}^2$

Найдем скорость груза.

Груз движется равноускоренно из состояния покоя. Пройденный путь $L = 0.32 \, \text{м}$ Тогда:
$V = \sqrt{2aL} = \sqrt{2 \cdot 0.763 \cdot 0.32} \approx \sqrt{0.488} \approx 0.7 \, \text{м/с}$
Ответ: скорость груза при достижении края стола $V \approx 0.7 \, \text{м/с}.$