Задание 26 ЕГЭ по физике

Обоснование.

Задачу решаем в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей.
Трением о воздух пренебрегаем.
Время разрыва считаем малым, поэтому изменением потенциальной энергии и действием силы тяжести можно пренебречь.
Используем законы сохранения импульса и энергии.

Закон сохранения импульса:$2m \cdot v_0 = m \cdot v_1 + m \cdot v_2$где:
$2m = 4 \, \text{кг}$ — масса снаряда,
$m = 2 \, \text{кг}$ — масса каждого осколка,
$v_0 = 400 \, \text{м/с}$ — начальная скорость снаряда,
$v_1$ — скорость осколка, летящего вперед,
$v_2$ — скорость осколка, летящего назад.

Упрощаем уравнение:$2v_0 = v_1 + v_2$
Закон сохранения энергии:$\Delta E = \frac{mv_1^2}{2} + \frac{mv_2^2}{2}- \frac{2mv_0^2}{2}$ где $\Delta E = 0.5 \cdot 10^6 \, \text{Дж}.$

Упрощаем:$\Delta E = \frac{m}{2} (v_1^2 + v_2^2- 2v_0^2)$

Выражаем $v_2$ через $v_1.$
Из закона сохранения импульса:
$v_2 = 2v_0- v_1$
Подставляем $v_2$ в уравнение энергии:
$\Delta E = \frac{m}{2} \left(v_1^2 + (2v_0- v_1)^2- 2v_0^2\right)$
$\Delta E = \frac{m}{2} \left(v_1^2 + 4v_0^2- 4v_0v_1 + v_1^2- 2v_0^2\right)$
$\Delta E = \frac{m}{2} (2v_1^2- 4v_0v_1 + 2v_0^2)$
Делим на $2$:$\Delta E = m (v_1^2- 2v_0v_1 + v_0^2)$
Замечаем полный квадрат:
$\Delta E = m (v_1- v_0)^2$

Находим $v_1$:$v_1- v_0 = \sqrt{\frac{\Delta E}{m}}$
Подставляем значения:$v_1 = v_0 + \sqrt{\frac{0.5 \cdot 10^6}{2}} = 400 + \sqrt{0.25 \cdot 10^6}$ $= 400 + 500 = 900 \, \text{м/с}$

Ответ: $v_1 = 900 \, \text{м/с}.$