Задание 26 ЕГЭ по физике

Обоснование.

Систему отсчета свяжем с Землей, считая ее инерциальной.
Шарики движутся поступательно, поэтому их можно рассматривать как материальные точки.
Сопротивлением воздуха пренебрегаем, поэтому движение шариков до столкновения описывается законами равноускоренного движения в поле тяжести Земли.
При столкновении внутренние силы взаимодействия значительно превышают силу тяжести, поэтому можно применить закон сохранения импульса.

Движение шариков до столкновения.

Введем систему координат: ось $OX$ — горизонтальная, ось $OY$ — вертикальная вверх. Начало координат — точка старта первого шарика.

Для первого шарика (брошенного под углом $\alpha$):
$y_1(t) = v_0 \sin \alpha \cdot t- \frac{g t^2}{2}$ $v_{y1}(t) = v_0 \sin \alpha- g t$
Для второго шарика (падающего из состояния покоя):
$v_{y2}(t) = -g t$

Условие столкновения.

После неупругого столкновения скорость шариков направлена горизонтально, значит, вертикальная составляющая скорости равна нулю:
$m v_{y1} + m v_{y2} = 0$Отсюда:$v_{y1} = -v_{y2}$ Подставляем выражения для $v_{y1}$ и $v_{y2}$:
$v_0 \sin \alpha- g t = g t$ Находим время до столкновения $\tau_1$:
$\tau_1 = \frac{v_0 \sin \alpha}{2g}$

Высота столкновения.

Подставляем $\tau_1$ в выражение для $y_1(t)$:
$h = y_1(\tau_1) = v_0 \sin \alpha \cdot \tau_1- \frac{g \tau_1^2}{2}$
После подстановки:
$h = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}- \frac{g v_0^2 \sin^2 \alpha}{8g^2} = \frac{3 v_0^2 \sin^2 \alpha}{8g}$

Время падения после столкновения.

После столкновения вертикальная скорость шариков равна нулю, поэтому время падения $\tau_2$ определяется из уравнения свободного падения:
$h = \frac{g \tau_2^2}{2}$ Отсюда:
$\tau_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{3 v_0^2 \sin^2 \alpha}{4g^2}} = \frac{v_0 \sin \alpha \sqrt{3}}{2g}$

Общее время падения:$\tau = \tau_1 + \tau_2 = \frac{v_0 \sin \alpha}{2g} + \frac{v_0 \sin \alpha \sqrt{3}}{2g} = \frac{(1 + \sqrt{3}) v_0 \sin \alpha}{2g}$

Ответ: $\tau = \frac{(1 + \sqrt{3}) v_0 \sin \alpha}{2g}.$