Задание 26 ЕГЭ по физике

Обоснование.

Систему отсчета связываем с Землей, считая ее инерциальной.
Тело рассматриваем как материальную точку, так как его размеры малы по сравнению с радиусом полусферы.
Поскольку полусфера гладкая, сила трения отсутствует, и работа силы реакции опоры равна нулю (она перпендикулярна перемещению).
Механическая энергия системы сохраняется.
В момент отрыва сила реакции опоры $N$ обращается в ноль.

Закон сохранения энергии.

В начальный момент (верхняя точка полусферы) тело обладает только потенциальной энергией:
$E_1 = mgR$ В момент отрыва тело имеет кинетическую и потенциальную энергию. Пусть $h$ — высота точки отрыва над основанием полусферы:$E_2 = \frac{mv^2}{2} + mgh$ По закону сохранения энергии:
$mgR = \frac{mv^2}{2} + mgh \quad (1)$

Условие отрыва.

В момент отрыва сила реакции опоры $N = 0 .$ На тело действует только сила тяжести $mg ,$ проекция которой на радиальное направление равна $mg \cos \theta ,$ где $\theta$ — угол между вертикалью и радиусом, проведенным к точке отрыва.

Центростремительное ускорение тела:$a = \frac{v^2}{R}$ По второму закону Ньютона:
$mg \cos \theta = m \frac{v^2}{R} \quad (2)$ Из геометрии задачи:
$\cos \theta = \frac{h}{R} \quad (3)$

Решение системы уравнений.

Подставляем $(3)$ в $(2)$:$mg \frac{h}{R} = m \frac{v^2}{R} \implies v^2 = gh \quad (4)$ Подставляем $(4)$ в $(1)$:$mgR = \frac{mgh}{2} + mgh$ $\implies R = \frac{h}{2} + h \implies R = \frac{3h}{2} \implies h = \frac{2R}{3}$ Подставляем $h$ обратно в $(4)$:$v^2 = g \cdot \frac{2R}{3} \implies v = \sqrt{\frac{2gR}{3}}$

Численный расчет.

Подставляем значения $g = 10 \, \text{м/с}^2$ и $R = 2.5 \, \text{м}$:
$v = \sqrt{\frac{2 \cdot 10 \cdot 2.5}{3}} = \sqrt{\frac{50}{3}} \approx 4.1 \, \text{м/с}$

Ответ: $v \approx 4.1 \, \text{м/с}.$