Задание 24 ЕГЭ по физике

Условие подъема шара.

Для подъема шара с грузом сила Архимеда $F_A$ должна компенсировать силу тяжести, действующую на оболочку, груз и воздух внутри шара:
$F_A \geq (M + m)g + m_B g$ где $m_B = \rho V$ — масса воздуха внутри шара, $\rho$ — его плотность.

Сила Архимеда равна весу вытесненного воздуха:
$F_A = \rho_0 g V$
Подстановка в условие подъема:
$\rho_0 g V \geq (M + m)g + \rho g V$ Сокращаем $g$:
$\rho_0 V \geq M + m + \rho V \quad (1)$
Используем уравнение состояния идеального газа:
$\rho = \frac{p \mu}{R T}$где $p$ — давление (одинаковое внутри и снаружи шара), $\mu$ — молярная масса воздуха, $R$ — универсальная газовая постоянная.

Для окружающего воздуха:
$\rho_0 = \frac{p \mu}{R T_0}$где $T_0 = 280\,\text{K}.$

Отсюда выражаем плотность внутри шара:
$\rho = \rho_0 \frac{T_0}{T}$ где $T$ — температура воздуха внутри шара.

Подстановка в неравенство $(1)$:
$\rho_0 V \geq M + m + \rho_0 \frac{T_0}{T} V$ Переносим слагаемые:
$\rho_0 V- \rho_0 \frac{T_0}{T} V \geq M + m$$\rho_0 V \left(1- \frac{T_0}{T}\right) \geq M + m$ Решаем относительно $T$:
$1- \frac{T_0}{T} \geq \frac{M + m}{\rho_0 V}$ $\frac{T_0}{T} \leq 1- \frac{M + m}{\rho_0 V}$ $T \geq \frac{T_0}{1- \frac{M + m}{\rho_0 V}}$
Подставляем числовые значения:
$T \geq \frac{280}{1- \frac{400 + 200}{1.2 \cdot 2500}} = \frac{280}{1- \frac{600}{3000}} = \frac{280}{1- 0.2} = \frac{280}{0.8} = 350\,\text{K}$
Минимальная разность температур между воздухом внутри шара и окружающим воздухом:
$\Delta T = T- T_0 = 350- 280 = 70\,\text{K}$
Ответ: минимальная разность температур составляет $70\,\text{K}.$