В двух сосудах находится одинаковое количество воды при одинаковой температуре. В первый сосуд добавляют \(0,42~\mathrm{кг}\) воды при температуре \(100~^\circ \mathrm{C}\), а во второй – \(0,42~\mathrm{кг}\) пара при температуре \(100~^\circ \mathrm{C}\). Конечная температура воды в сосудах после установления теплового равновесия отличается на \(50~^\circ \mathrm{C}\). Найдите начальную массу воды в каждом сосуде. Теплообменом с окружающей средой и теплоемкостью сосудов пренебречь.

По уравнению теплового баланса для первого сосуда: \(Q_{\mathrm{отд1}}=Q_{\mathrm{получ1}}\Rightarrow cm_1\left (t_2-t_3\right )=cm_0\left (t_3-t_1\right )~(1)\) Аналогично для второго сосуда: \(Q_{\mathrm{отд2}}=Q_{\mathrm{получ2}}\Rightarrow Lm_1+cm_1\left (t_2-t_4\right )=cm_0\left (t_4-t_1\right )~(2)\) Вычтем \((2)\) из \((1)\): \(cm_1\left (t_2-t_3\right )-Lm_1-cm_1\left (t_2-t_4\right )=cm_0\left (t_3-t_1\right )-cm_0\left (t_4-t_1\right )\) \(cm_1t_2-cm_1t_3-Lm_1-cm_1t_2+cm_1t_4=cm_0t_3-cm_0t_1-cm_0t_4+cm_0t_1\) \(cm_1\left (t_4-t_3\right )-Lm_1=cm_0\left (t_3-t_4\right )\) \(\left (t_4-t_3\right )cm_1+cm_0\left (t_4-t_3\right )=Lm_1\) \(\left (t_4-t_3\right )\left (cm_1+cm_0\right )=Lm_1\) \(c\left (t_4-t_3\right )\left (m_1+m_0\right )=Lm_1\) \(m_1+m_0=\frac{Lm_1}{c\left (t_4-t_3\right )}\) Начальная масса воды в каждом сосуде: \(m_0=m_1\left (\frac{L}{c\left (t_4-t_3\right )}-1\right )=0,42\cdot \left (\frac{2,3\cdot 10^6}{4200\cdot 50}-1\right )=4,18~\mathrm{кг}\)

В гладкой, открытой с обоих концов вертикальной трубе, имеющей два разных сечения, находятся два поршня, соединенные стержнем длиной \(0,5~\mathrm{м}\), а между поршнями – \(0,2~\mathrm{моль}\) идеального газа. Площадь сечения верхнего поршня \(S_1=40~\mathrm{см^2}\), а нижнего \(S_2=190~\mathrm{см^2}\). Давление газа \(p=90~\mathrm{кПа}\), давление наружного воздуха \(p_0=100~\mathrm{кПа}\). На сколько нужно изменить температуру газа между поршнями, чтобы они переместились вниз на \(3~\mathrm{см}\)?

При движении поршней вниз объем газа увеличится. Рассмотрим силы, действующие на поршни до их смещения. Обозначим за \(m_0\) массу двух поршней со стержнем. \(Oy:~F_3+F_2-F_1-F_4-m_0g=0\) \(F_1=p_0S_1;~F_2=p_0S_2;~F_3=pS_1;~F_4=pS_2\) \(pS_1+p_0S_2-p_0S_1-pS_2-m_0g=0\) \(p_0\left (S_2-S_1\right )-p\left (S_2-S_1\right )=m_0g\) \(\left (S_2-S_1\right )\left (p_0-p\right )=m_0g~(1)\) После смещения поршней: \(Oy:~F_5+F_2-F_1-F_6-m_0g=0\) \(F_5=p_1S_1;~F_6=p_1S_2\) \(p_1S_1+p_0S_2-p_0S_1-p_1S_2-m_0g=0\) \(p_0\left (S_2-S_1\right )-p_1\left (S_2-S_1\right )=m_0g\) \(\left (p_0-p_1\right )\left (S_2-S_1\right )=m_0g~(2)\) Приравняем левые части \((1)\) и \((2)\): \(\left (p_0-p_1\right )\left (S_2-S_1\right )=\left (S_2-S_1\right )\left (p_0-p\right )\) \(p_0-p_1=p_0-p\) Таким образом, давления газа в обоих случаях одинаковы: \(p_1=p\) По уравнению Менделеева-Клапейрона: \(p-const \Rightarrow pV\uparrow=\nu RT\uparrow \Rightarrow T_2>T_1\) \(pV_1=\nu RT_1;~(3)\) \(V_1=S_1b+S_2\left (l-b\right )\) \(pV_2=\nu RT_2;~(4)\) \(V_2=S_1\left (b-\Delta x\right )+S_2\left (l-b+\Delta x\right )\) Вычтем \((3)\) из \((4)\): \(p\left (V_2-V_1\right )=\nu R\left (T_2-T_1\right )\) \(p\left (S_1b-S_1\Delta x+S_2\left (l-b\right )+S_2\Delta x-S_1b-S_2\left (l-b\right ) \right )=\nu R\Delta T\) \(p\left (S_2-S_1\right )\Delta x=\nu R\Delta T\) Изменение температуры: \(\Delta T=\frac{p\left (S_2-S_1\right )\Delta x}{\nu R}=\frac{90\cdot 10^3\cdot \left (190-40\right )\cdot 10^{-4}\cdot 0,03}{0,2\cdot 8,31}=24,37~\mathrm{К}\) Ответ: 24,37 К

Идеальный одноатомный газ в количестве \(1~\mathrm{моль}\) участвует в циклическом процессе, состоящем из двух изохор и двух адиабат. В процессе \(1\)-\(2\) давление газа уменьшается в \(3\) раза, а в процессе \(3\)-\(4\) давление газа увеличивается \(2\) раза. Температуры газа в состояниях \(1\) и \(3\) равны соответственно \(T_1=600~\mathrm{К}\) и \(T_3=500~\mathrm{К}\). Определите КПД данного цикла.

Рассмотрим процесс \(1\)-\(2\): \(V-const \Rightarrow A_{12}=0\) По уравнению Менделеева-Клапейрона: \(\downarrow_{\mathrm{в~3}}pV=\nu RT\downarrow_{\mathrm{в~3}}\Rightarrow T_2=\frac{1}{3}T_1=\frac{1}{3}\cdot 600=200~\mathrm{К}\) Изменение внутренней энергии газа: \(\Delta U_{12}=\frac{3}{2}\nu R\left (T_2-T_1\right );~\Delta U_{12} 0\) Таким образом: \(Q_{\mathrm{н}}=Q_{34}\) \(Q_{\mathrm{х}}=\left |Q_{12}\right |\) КПД цикла: \(\eta=1-\frac{Q_{\mathrm{н}}}{Q_{\mathrm{х}}}=1-\frac{\frac{3}{2}\nu R\left (T_1-T_2\right )}{\frac{3}{2}\nu R\left (T_4-T_3\right )}=1-\frac{T_1-T_2}{T_4-T_3}\) Подставим числа: \(\eta=1-\frac{600-200}{1000-500}=\frac{1}{5}=0,2=20\%\)

Два сосуда объемами \(10~\mathrm{л}\) и \(40~\mathrm{л}\), соединенные трубкой с краном, содержат влажный воздух при комнатной температуре. Относительная влажность в сосудах равна соответственно \(60\%\) и \(20\%\). Если кран открыть, то какой будет относительная влажность воздуха в сосудах после установления теплового равновесия, считая температуру постоянной?

Относительная влажность воздуха в первом сосуде до открытия крана: \(\varphi_1=\frac{\rho_1}{\rho_{\mathrm{н}}}\) Плотность водяного пара в первом сосуде: \(\rho_1=\frac{m_1}{V_1}\) Объединяя выражения, получим: \(\varphi_1=\frac{m_1}{\rho_{\mathrm{н}}V_1}\Rightarrow m_1=\varphi_1\rho_{\mathrm{н}}V_1~(1)\) Аналогично для водяного пара во втором сосуде: \(\varphi_2=\frac{m_2}{\rho_{\mathrm{н}}V_2}\Rightarrow m_2=\varphi_2\rho_{\mathrm{н}}V_2~(2)\) Плотность водяного пара после соединения двух сосудов: \(\rho_{\mathrm{кон}}=\frac{m_1+m_2}{V_1+V_2}\) Относительная влажность воздуха в этом случае: \(\varphi_3=\frac{\rho_{\mathrm{кон}}}{\rho_{\mathrm{н}}}=\frac{\frac{m_1+m_2}{V_1+V_2}}{\rho_{\mathrm{н}}}~(3)\) Подставим \((1)\) и \((2)\) в \((3)\): \(\varphi_3=\frac{\varphi_1\rho_{\mathrm{н}}V_1+\varphi_2\rho_{\mathrm{н}}V_2}{\left (V_1+V_2\right )\rho_{\mathrm{н}}}=\frac{\rho_{\mathrm{н}}\left (\varphi_1V_1+\varphi_2V_2\right )}{\rho_{\mathrm{н}}\left (V_1+V_2\right )}\) Таким образом: \(\varphi_3=\frac{\varphi_1V_1+\varphi_2V_2}{V_1+V_2}=\frac{0,6\cdot 10~\mathrm{л}+0,2\cdot 40~\mathrm{л}}{10~\mathrm{л}+40~\mathrm{л}}=0,28=28\%\) Ответ: \(28%\)

Один моль идеального одноатомного газа сначала перевели в изобарическом процессе из состояния с объемом \(V_1=5~\mathrm{л}\) и давлением \(p_1\) в состояние с объемом \(V_2=10~\mathrm{л}\), а затем сжали его до начального объема \(V_1\) в процессе, происходящем по закону \(p=kV\), где \(k\) – некоторый постоянный коэффициент. За весь процесс газ совершил работу \(A=100~\mathrm{Дж}\). Каково начальное давление газа \(p_1\)?

Из геометрических соображений: \(\mathrm{tg}\, \alpha=\frac{CD}{OD}=\frac{AB}{OB}\) \(\frac{p_3}{5~\mathrm{л}}=\frac{p_1}{10~\mathrm{л}}\Rightarrow p_3=0,5p_1\) Работа газа в процессе \(1\)-\(2\)-\(3\) равна площади треугольника \(ECA\): \(A_{123}=S_{ECA}=\frac{1}{2}\left (p_1-p_3\right )\left (V_2-V_1\right )=\frac{1}{2}\left (p_1-0,5p_1\right )\left (V_2-V_1\right )\) \(A_{123}=\frac{1}{4}\left (V_2-V_1\right )p_1\) Начальное давление газа: \(p_1=\frac{4A_{123}}{V_2-V_1}=\frac{4\cdot 100}{\left (10-5 \right )\cdot 10^{-3}}=80~кПа\) Ответ: \(80~кПа\)