Верхняя грань \(AB\) прозрачного клина покрыта серебром, благодаря чему представляет собой зеркальную поверхность. Угол при вершине клина \(\alpha=30^\circ\). Луч света, падающий из воздуха перпендикулярно грани \(AC\), преломляется внутри клина и выходит в воздух через грань \(BC\) под углом \(\beta=45^\circ\) к ее нормали. Чему равен показатель преломления материала клина? Сделайте рисунок, поясняющий ход луча в клине.

Сумма углов в треугольнике: \(\sigma+90^\circ-\alpha+90^\circ-\alpha=180^\circ\Rightarrow \sigma=2\alpha=2\cdot 30^\circ=60^\circ\) Угол падения луча на грань \(BC\) клина: \(\varphi=90^\circ-\sigma=90^\circ-60^\circ=30^\circ\) По закону Снеллиуса: \(1\cdot \sin \beta=n\cdot \sin \varphi\) Показатель преломления материала клина: \(n=\frac{\sin \beta}{\sin \varphi}=\frac{\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}\approx 1,41\)

Ион с зарядом \(q=3,2\cdot 10^{-19}~\mathrm{Кл}\) и массой \(m=1,5\cdot 10^{-25}~\mathrm{кг}\) проходит ускоряющую разность потенциалов \(U=10^3~\mathrm{В}\) и после этого попадает в однородное магнитное поле с индукцией \(B=0,2~\mathrm{Тл}\), в котором движется по окружности. Определите радиус окружности, по которой ион движется в магнитном поле. Считать, что установке находится в вакууме. Силой тяжести и скоростью иона до прохождения ускоряющей разности потенциалов пренебречь.

Работа электрического поля: \(A_{\mathrm{эл}}=Uq\) Совершаемая работа идет на изменение кинетической энергии иона: \(A_{\mathrm{эл}}=\Delta W_{\mathrm{к}}=\frac{mv^2}{2}-0\) \(Uq=\frac{mv^2}{2}\Rightarrow v=\sqrt{\frac{2Uq}{m}}\) По второму закону Ньютона: \(F_{\mathrm{л}}=ma_{\mathrm{ц}}\) Сила Лоренца: \(F_{\mathrm{л}}=qvB\) Центростремительное ускорение: \(a_{\mathrm{ц}}=\frac{v^2}{R}\) Объединим выражения: \(m\frac{v^2}{R}=qvB\) \(mv=qBR\) Подставим скорость: \(m\sqrt{\frac{2Uq}{m}}=qBR\) Возведем выражение в квадрат: \(m^2\cdot \frac{2Uq}{m}=q^2B^2R^2\) Радиус окружности, по которой ион движется в магнитном поле: \(R=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2Um}{q}}\) Подставим числа: \(R=\frac{1}{0,2}\cdot \sqrt{\frac{2\cdot 1000\cdot 1,5\cdot 10^{-25}}{3,2\cdot 10^{-19}}}=0,153~\mathrm{м}\)

На рисунке ниже изображена электрическая цепь, состоящая из резисторов \(R_1=R\), \(R_2=2R\) источника с внутренним сопротивлением \(r=R\) и ключа \(K\). Когда ключ \(K\) разомкнут, на резисторе \(R_1\) выделяется мощность \(P_1=4,9~\mathrm{Вт}\). Какая мощность выделяется во внешней цепи при замкнутом ключе \(K\)?

Схема цепи в первом случае: По закону Ома для полной цепи: \(I_1=\frac{\varepsilon}{R_1+r}\) \(I_1=\frac{\varepsilon}{R+R}=\frac{\varepsilon}{2R}\) Тепловая мощность, выделяемая во внешней цепи в этом случае: \(P_1=I_1^2R_1=\frac{\varepsilon^2}{4R^2}\cdot R=\frac{\varepsilon}{4R}\Rightarrow \varepsilon^2=4P_1R\) Схема цепи во втором случае: Общее сопротивление внешней цепи: \(R_{\mathrm{общ}}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}=\frac{R\cdot 2R}{R+2R}=\frac{2R}{3}\) Сила тока в цепи: \(I_2=\frac{\varepsilon}{R_{\mathrm{общ}}+r}=\frac{\varepsilon}{\frac{2}{3}R+R}=\frac{\varepsilon}{\frac{5}{3}R}=\frac{3}{5}\frac{\varepsilon}{R}\) Тепловая мощность, выделяемая во внешней цепи в этом случае: \(P_2=I_2^2R_{\mathrm{общ}}=\frac{3^2}{5^2}\cdot \frac{\varepsilon^2}{R^2}\cdot \frac{2}{3}R=\frac{6}{25}\cdot \frac{\varepsilon^2}{R}=\frac{6}{25}\cdot \frac{4P_1R}{R}=\frac{24}{25}P_1=\frac{24\cdot 4,9}{25}=4,704~\mathrm{Вт}\)

В идеальном колебательном контуре, состоящем из конденсатора и катушки индуктивности, происходят свободные незатухающие колебания, период которых \(T=7,85~мкс\). Известно, что амплитуда колебаний заряда соответствует \(q_0=50~нКл\), а в момент времени \(t\) заряд на обкладках конденсатора \(q=30~нКл\). Определите силу тока в катушке в этот момент.

Период колебаний в контуре: \(T=2\pi \sqrt{LC}\Rightarrow \sqrt{LC}=\frac{T}{2\pi}\) По закону сохранения энергии: \(\frac{LI^2}{2}+\frac{q^2}{2C}=\frac{q_0^2}{2C}~|\cdot \frac{2}{L}\) \(I^2+\frac{q^2}{2C}=\frac{q_0^2}{2C}\) \(I^2=\frac{1}{LC}\left (q_0^2-q^2\right )\) Сила тока в катушке: \(I=\frac{1}{\sqrt{LC}}\sqrt{\left (q_0^2-q^2\right )}\) Объединим выражения: \(I=\frac{1\cdot 2\pi}{T}\sqrt{\left (q_0^2-q^2\right )}\) Подставим числа: \(I=\frac{2\cdot 3,14}{7,85\cdot 10^{-6}}\cdot \sqrt{\left (50\cdot 10^{-9}\right )^2-\left (30\cdot 10^{-9}\right )^2}=0,032~А\) Ответ: \(0,032 А\)

Четыре одинаковых заряда \(q\) расположены в одной плоскости в вершинах квадрата со стороной \(L\) и удерживаются в равновесии связывающими их не проводящими ток нитями (см. рисунок). Натяжение каждой из нитей \(T=13,5\cdot 10^{-3}~\mathrm{Н}\). Чему равна сила отталкивания соседних зарядов \(F_0\)?

Сила отталкивания соседних зарядов: \(F_1=F_2=F_0=\frac{kq^2}{L^2}\) Сила отталкивания зарядов, лежащих на диагонали квадрата: \(F_3=\frac{kq^2}{\left (L\sqrt{2}\right )^2}=\frac{kq^2}{2L^2}\) Из соображений симметрии силы натяжения нитей равны между собой по модулю: \(\left |\vec{T}_1\right |=\left |\vec{T}_2\right |=T\) По второму закону Ньютона: \(\vec{F}_1+\vec{F}_2+\vec{F}_3+\vec{T}_1+\vec{T}_2=0\) В проекциях на ось \(Ox\): \(Ox:~F_2+F_3\cos 45^\circ-T=0\) Объединим выражения: \(\frac{kq^2}{L^2}+\frac{kq^2}{2L^2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=T\) \(\frac{kq^2}{L^2}\left (1+\frac{\sqrt{2}}{4}\right )=T\) \(F_0\left (1+\frac{\sqrt{2}}{4}\right )=T\) Искомая сила: \(F_0=\frac{T}{1+\frac{\sqrt{2}}{4}}=\frac{13,5\cdot 10^{-3}}{1+\frac{\sqrt{2}}{4}}\approx 10\cdot 10^{-3}~\mathrm{Н}=10~\mathrm{мН}\) Ответ: \(10~мН\)