Тело, движущееся равноускоренно из состояния покоя, за первый километр разгона приобрело скорость \(54\) км/ч. Чему равно общее время разгона, если за это время тело прошло путь, равный \(2,25\) км?

Переведем скорость из км/ч в м/с: \(v_1=54~\frac{км}{ч}=54\cdot \frac{1000~м}{3600~с}=15~м/с\) Перемещение тела при равноускоренном движении: \(S_x=\frac{v_x^2-v_{0x}^2}{2a_x}\) В проекции на ось \(Ox\): \(S_1=\frac{v_1^2-0^2}{2a}\Rightarrow a=\frac{v_1^2}{2S_1}\) Аналогично для перемещения за общее время разгона тела: \(S_x=v_{0x}t+\frac{a_xt^2}{2};~S_2=\frac{at_2^2}{2}\) Объединим выражения: \(S_2=\frac{v_1^2}{2S_1}\cdot \frac{t_2^2}{2}\) \(t_2^2=\frac{4S_1S_2}{v_1^2}\) Общее время разгона: \(t_2=\frac{2}{v_1}\sqrt{S_1S_2}=\frac{2}{15}\sqrt{1000\cdot 2250}=200~с\)

Воздушный шар объемом \(800\) м\(^3\), масса оболочки которого равна \(400\) кг, неподвижно висит в атмосфере плотностью \(1,2\) кг/м\(^3\). Определите плотность газа внутри шара.

Условие равновесия шара: \(Oy:~F_{Арх}-mg-m_{об}g=0\) Сила Архимеда: \(F_{Арх}=\rho_0gV\) Масса газа внутри шара: \(m=\rho V\) Объединим выражения: \(\rho_0gV-\rho Vg-m_{об}g=0\) Плотность газа внутри шара: \(\rho=\frac{\rho_0V-m_{об}}{V}=\frac{1,2\cdot 800-400}{800}=0,7~кг/м^3\)

За край горизонтальной поверхности на \(\frac{1}{4}\) часть выдвинута деревянная доска. Она остается в состоянии покоя, если на ее правом конце лежит груз массой не более \(0,25\) кг (см. рисунок). Далее доску выдвинули за край поверхности на \(\frac{1}{3}\) часть ее длины. Найдите максимальную массу груза, который можно положить на правый конец доски в этом случае, чтобы она не перевернулась.

Запишем правило моментов для оси, проходящей перпендикулярно плоскости рисунка через точку \(O\): \(Mgx_1=m_1gl_1\) \(x_1=\frac{l}{2}-l_1\) \(Mg\left (\frac{l}{2}-l_1 \right )=m_1gl_1\Rightarrow M\left (\frac{l}{2}-\frac{l}{4} \right )=m_1\frac{l}{4}~|\cdot 4\) \(M\left (2l-l \right )=m_1l\) \(Ml=m_1l\) Масса доски: \(M=m_1=0,25~кг\) Запишем правило моментов для оси, проходящей перпендикулярно плоскости рисунка через точку \(O\): \(m_2gl_2=x_2Mg\) \(x_2=\frac{l}{2}-l_2\) \(m_2gl_2=\left (\frac{l}{2}-l_2\right )Mg\) \(m_2\frac{l}{3}=\left (\frac{l}{2}-\frac{l}{3} \right )M~|\cdot 6\) \(2m_2l=\left (3l-2l \right )M\) \(2m_2l=Ml\) Искомая масса груза: \(m_2=\frac{M}{2}=\frac{0,25}{2}=0,125~кг\)

В сосуде (см. рисунок) находится система тел, состоящая из идеального блока и перекинутой через него невесомой и нерастяжимой нити, к концам которой привязаны тело объемом \(V=100\) см\(^3\) и пружина жесткостью \(k=100\) Н/м. Нижний конец пружины прикреплен ко дну сосуда. На какую величину изменится длина пружины, если эту систему целиком погрузить в жидкость плотностью \(\rho=900\) кг/м\(^3\)?

До погружения системы в жидкость: Так как нить невесома, а блок идеален: \(|\vec{T}_1|=|\vec{T}_2|=T\) По второму закону Ньютона: \(T-mg=0\Rightarrow T=mg\) Сила упругости: \(F_{у1}=mg;~F_{у1}=kx_1\Rightarrow kx_1=mg~(1)\) После погружения системы в жидкость: Так как нить невесома, а блок идеален: \(|\vec{T}_3|=|\vec{T}_4|=T_0\) \(T_0+F_А-mg=0\Rightarrow T_0=mg-F_А\) \(T_0-F_{у2}=0\Rightarrow F_{у2}=T_0;~F_{у2}=mg-F_А\) \(F_{у2}=kx_2\) Сила Архимеда: \(F_А=\rho_жgV\) Объединим выражения: \(kx_2=mg-F_А~(2)\) Из \((1)\) вычтем \((2)\): \(k\left (x_1-x_2\right )=mg-mg-F_А\) \(k\left (x_1-x_2\right )=F_А;~k\left (x_1-x_2\right )=\rho_жgV\) Изменение длины пружины: \(x_1-x_2=\frac{\rho_жgV}{k}=\frac{900\cdot 10\cdot 10\cdot 10^{-6}}{100}=0,009~м\) Ответ: \(0,009~м\)

С поверхности земли почти вертикально вверх бросили камень, который через \(5\) с упал на крышу здания на высоте \(30\) м. Чему была равна скорость камня в момент перед падением на крышу? Сопротивление воздуха не учитывать.

Запишем уравнения координаты \(y\) и проекции скорости на ось \(Oy\): \(y=y_0+v_{0y}t+\frac{a_yt^2}{2}\) \(v_y=v_{0y}+a_yt\) Выполним преобразования под условие задачи: \(y=v_0t-\frac{gt^2}{2}\) \(v_y=v_0-gt\) Так как точка \(A\) находится на высоте \(h\), вместо \(y\) подставим \(h\), а вместо \(v_y\) подставим \(-v_A\), так как она направлена против оси \(Oy\). Получим: \(h=v_0t_A-\frac{gt_A^2}{2}\) \(-v_A=v_0-gt_A\) Выразим из формулы высоты начальную скорость и найдем ее: \(v_0t_A=h+\frac{gt_A^2}{2}\Rightarrow v_0=\frac{h+\frac{gt_A^2}{2}}{t_A}=\frac{30+\frac{10\cdot 5^2}{2}}{5}=31~м/с\) Так как мы нашли начальную скорость, подставим это значение в уравнение скорости и получим скорость в точке \(A\): \(v_A=-v_0+gt_A=-31+10\cdot 5=19~м/с\) Ответ: \(19~м/с\)