Чему равна жесткость пружины бытового безмена, изображенного на рисунке? Ответ дайте в Н/м.

Решение: Изначально длина пружины была равна \(1\) см, а после того, как на нее подвесили груз, она стала равна \(2\) см, значит, \(\Delta l=2-1=1~см=\frac{1}{100}~м=0,01~м\) По показаниям динамометра видно, что масса груза равна \(2\) кг Сила упругости пружины равна силе тяжести груза: \(F_у=mg\\ k\Delta l=mg\) Подставим числовые значения и найдем жесткость: \(k\cdot 0,01=2\cdot 10 \\ 0,01k=20 \\ k=\frac{20}{0,01}=2000~Н/м\)

Учащийся выполнял эксперимент по измерению растяжения \(x\) пружин 1 и 2 при подвешивании к ним грузов. Полученные учащимся результаты представлены на рисунке в виде диаграммы. Масса груза \(m_1\), подвешенного к первой пружине, в 2 раза меньше массы \(m_2\) груза, подвешенного ко второй пружине (\(m_2=2m_1\)). Найдите отношение жесткости первой пружины к жесткости второй пружины \(\frac{k_1}{k_2}\).

Решение: Сила упругости пружины равна силе тяжести груза (т.к. груз покоится), запишем это для первого и второго случая: \(m_1 g=k_1 \cdot 2x \\ m_2 g=k_2 \cdot x\) Выразим \(x\) из этих уравнений: \(x=\frac{m_1 g}{2k_1} \\ x=\frac{m_2 g}{k_2}\) Приравняем правые части уравнений: \(\frac{m_1 g}{2k_1}=\frac{m_2 g}{k_2}\) По условию \(m_2=2m_1\), уравнение принимает вид: \(\frac{m_1 g}{2k_1}=\frac{2m_1 g}{k_2} \\ \frac{1}{2k_1}=\frac{2}{k_2} \\ k_2=2k_1 \cdot 2 \\ k_2=4k_1\) Тогда отношение жесткостей пружин составляет: \(\frac{k_1}{k_2}=\frac{1}{4}=0,25\)

Учащийся выполнял эксперимент по измерению растяжения \(x\) пружин 1 и 2 при подвешивании к ним грузов. Полученные учащимся результаты представлены на рисунке в виде диаграммы. Масса груза \(m_1\), подвешенного к первой пружине, в 2 раза меньше массы \(m_2\) груза, подвешенного ко второй пружине (\(m_2=2m_1\)). Найдите отношение жесткости первой пружины к жесткости второй пружины \(\frac{k_1}{k_2}\).

Решение: Сила упругости пружины равна силе тяжести груза (т.к. груз не ускоряется), запишем это для первого и второго случая: \(m_1 g=k_1 \cdot x \\ m_2 g=k_2 \cdot x\) Выразим \(x\) из этих уравнений: \(x=\frac{m_1 g}{k_1} \\ x=\frac{m_2 g}{k_2}\) Приравняем правые части уравнений: \(\frac{m_1 g}{k_1}=\frac{m_2 g}{k_2}\) По условию \(m_2=2m_1\), уравнение принимает вид: \(\frac{m_1 g}{k_1}=\frac{2m_1 g}{k_2} \\ \frac{1}{k_1}=\frac{2}{k_2} \\ k_2=2k_1\) Тогда отношение жесткостей пружин составляет: \(\frac{k_1}{k_2}=\frac{1}{2}=0,5\)

На диаграмме представлены результаты экспериментальных измерений удлинения пружин при подвешивании к ним грузов. Масса груза на первой пружине в 2 раза меньше массы груза на второй пружине (\(m_1=0,5m_2\)). Найдите отношение жесткости первой пружины к жесткости второй пружины \(\frac{k_1}{k_2}\).

Решение: Сила упругости пружины равна силе тяжести груза (т.к. груз не ускоряется), запишем это для первого и второго случая: \(m_1 g=k_1 x_1~(1) \\ m_2 g=k_2 x_2~(2)\) где \(x_1=1~см\) - удлинение первой пружины, а \(x_2=4~см\) - удлинение второй пружины Поделим (2) на (1): \(\frac{m_2 g}{m_1 g}=\frac{k_2 x_2}{k_1 x_1}\) Подставим \(x_1\) и \(x_2\), а также воспользуемся тем, что \(m_1=0,5m_2\): \(\frac{m_2 g}{0,5 m_2 g}=\frac{k_2\cdot 4}{k_1\cdot 1} \\ \frac{1}{0,5}=\frac{4k_2}{k_1} \\ k_1=2k_2\) Тогда отношение жесткостей пружин составляет: \(\frac{k_1}{k_2}=\frac{2}{1}=2\)

К невесомой нити (см.рис) подвешен груз А, к нему на пружине прикрепляют груз В и затем нить пережигают. Какой из грузов в начале падения имеет относительно Земли меньшее ускорение? Ответ поясните.

Ответ: меньшее ускорение будет иметь груз B Пояснение: изобразим на рисунке силы, действующие на грузы после пережигания нити. На груз A вниз действует сила тяжести, равная \(mg\), и сила упругости \(F_у\). На груз B также вниз действует сила тяжести, равная \(mg\), а вверх сила упругости \(F_у\). Силы упругости, действующие на тела, равны, потому что пружина натягивается с одинаковой силой вдоль всей длины. Запишем второй закон Ньютона в векторном виде: \(\vec{F}=m\vec{a}\) Для грузов A и B он будет принимать вид: \(\vec{F_у}+m\vec{g}=m\vec{a}\) Направим ось \(x\) вниз и спроецируем на нее второй закон Ньютона для грузов: \(F_у+mg=ma_A \\ mg-F_у=ma_B\) У груза B равнодействующая сил меньше, чем у груза A (т.к. силы, действующие на груз B противонаправлены, а на груз A - сонаправлены), а значит, по второму закону Ньютона ускорение груза B меньше ускорения груза A