На полу равноускоренно движущегося вверх лифта стоит ящик массой \(50\) кг. За какое время лифт поднимется из состояния покоя на высоту \(25\) м, если сила давления ящика на пол лифта \(600\) Н?

Решение: Начальная скорость \(v_0\) равна нулю т.к. лифт поднимается из состояния покоя На ящик вниз действует сила тяжести, а вверх - сила реакции опоры со стороны пола лифта. Ускорение направлено вверх. По третьему закону Ньютона ящик действует на пол лифта с силой \(P\), равной по модулю \(N\): \(P=N=600~Н\) Направим ось \(x\) вверх и спроецируем на нее второй закон Ньютона: \(N-mg=ma\) Подставим числовые значения и найдем ускорение ящика: \(600-50\cdot 10=50\cdot a \\ a=2~\frac{м}{с^2}\) Запишем формулу перемещения при равноускоренном движении в проекциии на ось \(x\): \(S=v_0 t+\frac{at^2}{2}\) Подставим числовые значения и найдем время подъема: \(25=0\cdot t+\frac{2\cdot t^2}{2} \\ t^2=25 \\ t=5~с\) Ответ: 5 с

Тело массой \(800\) г движется в горизонтальном направлении со скоростью \(4\) м/с и сталкивается с телом массой \(400\) г, движущимся по той же прямой со скоростью \(2\) м/с. Определите скорость тел после удара, если они стали двигаться как единое целое.

Решение: Переведем массы в кг: \(m=800~г=\frac{800}{1000}~кг=0,8~кг\); \(M=400~г=\frac{400}{1000}~кг=0,4~кг\) Скорость первого тела \(v\) направлена вправо, скорость второго тела \(u\) направлена влево. Нам неизвестно направление скорости \(v_о\) после столкновения, направим ее в любую сторону (например, влево) Направим ось \(x\) вправо и запишем в проекции на нее закон сохранения импульса (после столкновения тела движутся как единое целое, поэтому их масса равна (\(m+M\))): \(mv-Mu=-(m+M)v_о\) Подставим числовые значения и найдем скорость после столкновения: \(0,8\cdot 4-0,4\cdot 2=-(0,8+0,4)v_о \\ 3,2-0,8=-1,2v_о \\ 2,4=-1,2v_о \\ v_о=-2~м/с\) Скорость отрицательная, значит, мы неправильно направили ее вектор (на самом деле скорость будет направлена вправо). В ответ запишем модуль скорости Ответ: 2 м/с

Брусок массой \(1,8\) кг движется со скоростью \(2\) м/с по гладкой горизонтальной поверхности. Навстречу бруску летит пуля массой \(9\) г, которая пробивает брусок насквозь и вылетает из него со скоростью \(500\) м/с. При этом брусок останавливается. Чему равна начальная скорость пули?

Решение: Переведем массу пули в кг: \(M=9~г=\frac{9}{1000}~кг=0,009~кг\) Обозначим начальную скорость бруска за \(v\), конечную - за \(v'\) (\(v'=0\) т.к. брусок остановился); начальную скорость пули за \(u\), конечную - за \(u'\) Изобразим на рисунке направления скоростей и направим ось \(x\) вправо Запишем закон сохранения испульса в проекции на ось \(x\): \(mv-Mu=mv'-Mu'\) Подставим числовые значения и найдем начальную скорость пули: \(1,8\cdot 2-0,009\cdot u=0-0,009\cdot 500 \\ 3,6+4,5=0,009u \\ 8,1=0,009u \\ u=900~м/с\) Ответ: 900 м/с

Между двумя шарами массами \(2\) кг и \(4\) кг, движущимися вдоль одной прямой в одном направлении со скоростями \(8\) м/с и \(2\) м/с соответственно, происходит неупругое соударение. С какой скоростью шары будут продолжать совместное движение после соударения?

Решение: Изобразим на рисунке направления скоростей и направим вправо ось \(x\) Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось \(x\) (после соударения шары стали двигаться как одно целое, их общая масса равна (\(m+M\))): \(mv+Mu=(m+M)v_о\) Подставим числовые значения и найдем скорость после соударения: \(2\cdot 8+4\cdot 2=(2+4)v_о \\ 16+8=6\cdot v_о \\ 24=6v_о \\ v_о=4~м/с\) Ответ: 4 м/с

Конькобежец массой \(60\) кг, стоя на коньках на люду, бросает вперед в горизонтальном направлении предмет массой \(1\) кг и откатывается назад на \(40\) см. Коэффициент трения коньков о лёд \(0,02\). Найдите скорость, с которой был брошен предмет.

Решение: Переведем перемещение в метры: \(S=40~см=\frac{40}{100}~м=0,4~м\) Обозначим скорость предмета после броска за \(u\), а скорость конькобежца - за \(v_0\). На конькобежца при движении вниз действует сила тяжести, вверх - сила реакции опоры, а влево - сила трения. После броска он совершает некоторое перемещение, направленное вправо. Ось \(x\) направим вправо Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось \(x\) (изначально конькобежец и предмет не двигались, поэтому начальный импульс системы равен нулю): \(0=mv_0-Mu\) Ускорение определяется силой трения. Она направлена влево, поэтому и ускорение направлено влево. Спроецируем второй закон Ньютона для конькобежца на ось \(x\): \(-F_{тр}=-ma \\ \mu N=ma \\ \mu mg=ma \\ \mu g=a\) Подставим числовые значения и найдем ускорение конькобежца: \(a=0,02\cdot 10=0,2~\frac{м}{с^2}\) (сила реакции опоры равна силе тяжести в данном случае) Воспользуемся формулой для перемещения при равноускоренном движении в проекции на ось \(x\): \(S=\frac{v^2-v_0^2}{-2a}\) Подставим числовые значения и найдем скорость конькобежца: \(0,4=\frac{0^2-v_0^2}{-2\cdot 0,2} \\ 0,4=\frac{v_0^2}{0,4} \\ v_0^2=0,4^2 \\ v_0=0,4~\frac{м}{с}\) Подставим числовые значения в закон сохранения импульса и найдем скорость предмета: \(0=60\cdot 0,4-1\cdot u \\ u=24~м/с\) Ответ: 24 м/с