В два одинаковых стакана налита вода до одной высоты. В один стакан опустили сплошной стальной брусок, а в другой - сплошной медный брусок той же массы. Бруски целиком погрузились в воду. В каком стакане уровень воды стал выше, если известно, что воды из стаканов не выливалась? Ответ поясните.

Ответ: в стакане со стальным бруском Пояснение: по условию массы брусков равны, но плотность меди (\(8900)\ кг/м^3) больше плотности стали (\(7800)\ кг/м^3). Выразим объем из формулы для плотности: \(\downarrow V=\frac{m}{\rho \uparrow}\) Из нее следует, что чем больше плотность, тем меньше объем при неизменной массе. Следовательно, объем бруска из меди меньше объема бруска из стали. Бруски при полном погружении вытесняют объем воды равный собственному объему, поэтому брусок из стали вытеснит больший объем и вода поднимается выше

На рычажных весах уравновешены два сплошных шара: мраморный и железный. Нарушится ли равновесие весов, и если нарушится, то как, если шары опустить в воду? Ответ поясните.

Ответ: нарушится, перевесит железный шарик Пояснение: при погружении в воду на шарики начнет действовать выталкивающая сила Архимеда. Т.к. весы были уравновешены, то массы шаров одинаковы, а учитывая, что плотность железа больше плотности мрамора, то объем железного шарика меньше, и на него выталкивающая сила будет действовать слабее, т.к. вычисляется по формуле: \(F_А\downarrow=\rho gV\downarrow\)

В стакан, к дну которого приморожен кубик льда, наливают воду. Изменится ли (и если изменится, то как) уровень воды в стакане, когда, подтаяв, лёд всплывёт? Ответ поясните.

Ответ: изменится, уровень воды уменьшится Пояснение: изначально кубик льда был полностью погружен в воду и вытеснял объем воды, равный своему. Когда кубик всплывет, он будет вытеснять объем, равный объему своей погруженной части. Т.к. кубик будет плавать, объем его погруженной части будет меньше, чем его полный объем, и он будет вытеснять меньший объем воды

Сплошной кубик с ребром \(20\) см плавает на границе раздела воды и керосина (см.рисунок). Плотность вещества, из которого изготовлен кубик, равна \(850\) кг/м\(^3\). Слой керосина располагается выше, чем верхняя поверхность кубика. Определите, на какую глубину кубик погружен в воду.

Решение: Переведем длину ребра в метры: \(a=20~см=\frac{20}{100}~м=0,2~м\) Изобразим на рисунке силы, действующие на кубик. Вниз на него действует сила тяжести, а вверх - силы Архимеда со стороны воды и со стороны керосина. Обозначим высоту части кубика, погруженной в воду, за \(h_в\), тогда высота части, погруженной в керосин равна (\(a-h_в\)) Направим ось \(x\) вверх и спроецируем на нее второй закон Ньютона (кубик покоится, поэтому его ускорение равно нулю): \(F_ {Ав}+F_ {Ак}-mg=0\) Распишем силы Архимеда по формуле и массу через плотность: \(\rho_в gV_в+\rho_к gV_к-\rho Vg=0\) Объем части кубика, погруженной в воду равен \(a\cdot a\cdot h_в\) (т.к. две стороны равны \(a\), а третья сторона равна \(h_в\)), а объем части, погруженной в керосин аналогично равен \(a\cdot a\cdot (a-h_в)\). Объем самого кубика равен \(a^3\). Подставим объемы в формулу: \(\rho_в g\cdot a\cdot a\cdot h_в+\rho_к g\cdot a\cdot a (a-h_в)-\rho \cdot a^3 g=0 \\ \rho_в \cdot a\cdot a\cdot h_в+\rho_к \cdot a\cdot a (a-h_в)-\rho \cdot a^3=0\) Подставим числовые значения и найдем высоту части, погруженной в воду: \(1000 \cdot 0,2\cdot 0,2\cdot h_в+800 \cdot 0,2\cdot 0,2 (0,2-h_в)-850 \cdot 0,2^3=0 \\ 40h_в+32(0,2-h_в)-6,8=0 \\ 40h_в+6,4-32h_в-6,8=0 \\ 8h_в=0,4 \\ h_в=0,05~м=5\cdot 100~см=5~см\) Ответ: 5 см

Брусок высотой \(h=12\) см плавает в жидкости, погрузившись в нее наполовину. На какую глубину погрузится в ту же жидкость брусок таких же размеров, но изготовленный из материала вдвое меньшей плотности?

Решение: Брусок плавает, следовательно, сила Архимеда компенсирует его силу тяжести: \(F_А=mg\) Распишем силу Архимеда по формуле и массу через плотность для двух случаев В первом случае брусок погружен на половину, поэтому: \(\rho_ж g \frac{V}{2}=\rho V_g~(1)\) (для силы Архимеда берем объем погруженной части, а для массы - полный объем) Во втором случае возьмем \(V_2\) за погруженный объем. По условию в этом случае плотность равна половине плотности в первом случае, а объем не меняется: \(\rho_ж gV_2=\frac{\rho}{2}V_g~(2)\) Поделим (2) на (1): \(\frac{\rho_ж gV_2}{\rho_ж g \frac{V}{2}}=\frac{\frac{\rho}{2}V_g}{\rho V_g} \\ \frac{V_2}{\frac{V}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{1} \\ \frac{2V_2}{V}=\frac{1}{2} \\ V_2=\frac{V}{4}\) Брусок погрузится на четверть своего объема, а значит, на четверть высоты: \(h_2=\frac{h}{4} \\ h_2=\frac{12}{4}=3~см\) Ответ: 3 см