Вагон массой \(20\) т, движущийся по горизонтальному пути со скоростью \(2\) м/с, сталкивается с другим вагоном такой же массы, движущимся ему навстречу со скоростью \(1\) м/с, и автоматически с ним сцепляется. Какой путь они пройдут до полной остановки, если будут двигаться после сцепки с ускорением \(0,005\) м/с\(^2\)?

Решение: Возьмем скорость первого вагона за \(v\), скорость второго вагона за \(u\), а их общую скорость после сцепки за \(v_0\) Направим ось \(x\) вправо и запишем в проекции на нее закон сохранения импульса: \(Mv-Mu=(M+M)v_0 \\ M\cdot 2-M\cdot 1=2M\cdot v_0 \\ 2-1=2v_0 \\ v_0=0,5~м/с\) Запишем формулу для перемещения при равноускоренном движении в проекции на ось \(x\): \(S=\frac{v^2-v_0^2}{-2a}\) Конечная скорость рана нулю т.к. вагоны должны остановиться. Подставим числовые значения и найдем их путь: \(S=\frac{0^2-0,5^2}{-2\cdot 0,005}=25~м\) Ответ: 25 м

С лодки равномерно подтягивают канат, поданный на баркас. Первоначально лодка и баркас покоились, а расстояние между ними было равно \(55\) м. Масса лодки \(300\) кг. Определите массу баркаса, если известно, что до встречи с лодкой он прошёл путь в \(11\) м. Сопротивлением воды пренебречь.

Решение: Обозначим скорость лодки произвольный момент времени за \(v_1\), а скорость баркаса за \(v_2\). Направим ось \(x\) вправо Изначально лодка и баркас покоились, поэтому импульс системы был равен нулю. Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось \(x\): \(0=Mv_1-mv_2 \\ Mv_1=mv_2\) Отсюда видно, что скорости все время пропорциональны и их отношение все время будет равно некоторому постоянному числу. Если скорость лодки постоянно больше скорости баркаса, то и путь лодки будет постоянно больше, и отношение путей будет так же равно отношению скоростей: \(\frac{v_1}{v_2}=\frac{S_1}{S_2}\) Возьмем путь лодки за \(S_1\), путь баркаса за \(S_2\), а расстояние между ними за \(L\). Тогда \(S_1=L-S_2 \\ S_1=55-11=44~м\) Найдем отношения скоростей: \(\frac{v_1}{v_2}=\frac{44}{11}=4 \\ v_1=4v_2\) Подставим \(v_1\) в закон сохранения импульса: \(M\cdot 4v_2=mv_2 \\ m=4M\) Подставим числовые значенияи найдем массу баркаса: \(m=4\cdot 300=1200~кг\) Ответ: 1200 кг

Ядро, летевшее горизонтально со скоростью \(20\) м/с, разорвалось на два осколка массами \(5\) кг и \(10\) кг. Скорость меньшего осколка \(90\) м/с и направлена так же, как и скорость ядра до разрыва. Найдите скорость и направление движения большего осколка

Решение: Обозначим скорость ядра за \(v_я\), скорость меньшего осколка за \(v_1\), а скорость большего осколка за \(v_2\). Нам неизвестно направление скорости большего осколка, предположим, что он полетит в ту же сторону, что и первый. Ось \(x\) направим вправо Запишем закон сохранения импульса в векторном виде: \(\vec{p_я}=\vec{p_1}+\vec{p_2}\) Спроецируем его на ось \(x\) и распишем импульсы по формуле: \((m_1+m_2)v_я=m_1 v_1+m_2 v_2\) Подставим числовые значения и найдем скорость большего осколка: \((5+10)\cdot 20=5\cdot 90+10\cdot v_2 \\ 15\cdot 2=5\cdot 9+v_2 \\ 30=45+v_2 \\ v_2=-15~м/с\) Скорость получилась отрицательной, значит, мы неправильно выбрали ее направление, и больший осколок полетит влево. В ответ даем модуль скорости и направление движения Ответ: 15 м/с; в обратном направлении

Тележка с песком общей массой \(10\) кг движется без трения по горизонтальной поверхности со скоростью \(2\) м/с. Вслед за тележкой летит шар массой \(2\) кг с горизонтальной скоростью \(8\) м/с. После попадания в песок шар застревает в нем. Какую скорость при этом приобретает тележка?

Решение: После того, как шар застрял в песке, тележка с шаром стали двигаться как одно целое Обозначим конечную скорость тележки с шаром за \(v_к\) Направим ось \(x\) вправо и запишем в проекции на нее закон сохранения импульса: \(p_ш+p_т=p_к\) Распишем импульсы по формуле: \(m_ш\cdot v_ш+m_т\cdot v_т=m_к\cdot v_к\) Подставим числовые значения и найдем скорость тележки после попадания в нее шара: \(2\cdot 8+10\cdot 2=12\cdot v_к \\ 16+20=12v_к \\ 36=12 v_к \\ v_к=3~м/с\) Ответ: 3 м/с

Какую скорость приобретет лежащее на льду чугунное ядро, если пуля, летящая горизонтально со скоростью \(500\) м/с, отскочит от него и будет двигаться в противоположном направлении со скоростью \(400\) м/с? Масса пули \(10\) г, масса ядра \(25\) кг.

Решение: Переведем массу пули в кг: \(m=10~г=\frac{10}{1000}~кг=0,01~кг\) Обозначим скорость пули до удара за \(v_{п1}\), после удара - за \(v_{п2}\), скорость ядра за \(v_я\) Направим ось \(x\) вправо и запишем закон сохранения импульса в проекции на нее: \(p_{п1}=-p_{п2}+p_я\) Распишем импульсы по формуле: \(m_п\cdot v_{п1}=-m_п\cdot v_{п2}+m_я\cdot v_я\) Подставим числовые значения и найдем скорость ядра: \(0,01\cdot 500=-0,01\cdot 400+25\cdot v_я \\ 5=-4+25v_я \\ 9=25v_я \\ v_я=0,36~м/с\) Ответ: 0,36 м/с