Числа Фибоначчи: что это такое и где они встречаются в природе

Их нужно сложить:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…

Посмотрим, как растёт ряд. После 2 и 3 идёт 5, потому что 2 + 3 = 5. Следующее число — 8, потому что 3 + 5 = 8. Затем 5 + 8 = 13. Если продолжать складывать два последних числа, последовательность будет расти дальше.

В Европе эта последовательность стала известна благодаря итальянскому математику Леонардо Пизанскому, которого называют Фибоначчи. В 1202 году он описал её в «Книге абака» в задаче о размножении кроликов.

У последовательности Фибоначчи есть интересная особенность. Если взять два соседних числа и разделить большее на меньшее, результаты будут приближаться к одному значению:

13 / 8 = 1,625
21 / 13 ≈ 1,615
34 / 21 ≈ 1,619
55 / 34 ≈ 1,618

φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339

При этом точного равенства не получится. Число φ иррациональное: после запятой у него бесконечно много цифр, которые не складываются в повторяющийся узор. Отношение соседних чисел Фибоначчи лишь всё ближе приближается к золотому сечению.

Листья на стебле, семена в подсолнухе, чешуйки шишки — все они должны разместиться на ограниченном пространстве по мере роста растения. Именно здесь особенно часто появляются узоры, связанные с числами Фибоначчи.

Расположение листьев, цветков и других боковых органов растения называется филлотаксисом. Оно бывает разным: спиральным, двурядным, супротивным и мутовчатым.

Как возникает спиральный узор

Новые листья и цветочные органы начинают формироваться на верхушке побега, в области активно растущей ткани — апикальной меристеме. Сначала там появляются крошечные зачатки будущих органов — примордии.

Представим полный оборот вокруг стебля — это 360°. Новый зачаток появляется не прямо над предыдущим, а со смещением примерно на 137,5°. Этот угол и называют золотым.

Когда такое смещение повторяется много раз, зачатки распределяются вокруг центра и образуют спиральный узор. На то, где и когда появится очередной зачаток, влияют распределение растительного гормона ауксина, механические свойства тканей и геометрия роста. Поэтому числа Фибоначчи в растениях могут возникать как результат процессов, которые определяют расположение новых органов.

Как золотой угол связан с листьями

По мере роста стебля листья оказываются на разных уровнях и образуют вокруг него определённый порядок. Его можно описать с помощью филлотаксических дробей — например, 2/5, 3/8 или 5/13.

Разберём на примере 2/5. Если двигаться от одного листа к следующему по спирали, то за пять промежутков между листьями мы сделаем два полных оборота вокруг стебля. После этого шестой лист окажется примерно над первым. Поэтому такую схему обозначают дробью 2/5.

При таком расположении угол между соседними листьями составляет около 144°. В дробях 2/5, 3/8 и 5/13 числитель и знаменатель — числа Фибоначчи, между которыми в последовательности находится ещё одно число.

Такое расположение может влиять на то, насколько листья затеняют друг друга.

В подсолнухе или шишке спирали заметны особенно хорошо. Если присмотреться, видно, что они закручиваются сразу в двух направлениях: одни идут по часовой стрелке, другие — против. Такие ряды называют парастихиями.

Спирали в подсолнухе

В центре подсолнуха хорошо заметны спиральные ряды, закрученные в противоположных направлениях. Если посчитать эти спирали, часто обнаруживается любопытная закономерность: их количество соответствует соседним числам Фибоначчи.

Например, в одном направлении может быть 34 спирали, а в другом — 55. Встречается и пара 55 и 89. Все эти числа идут друг за другом в последовательности Фибоначчи.

Но такая закономерность встречается не всегда. Исследования большого числа соцветий показали, что у подсолнухов бывают и другие варианты расположения. Поэтому числа Фибоначчи здесь часто встречающаяся закономерность.

Спирали в шишках

Тот же узор легко рассмотреть на сосновой или еловой шишке. Её чешуйки тоже выстраиваются в спиральные ряды, идущие в противоположных направлениях. Часто их число образует пары 5 и 8 или 8 и 13.

Спирали можно посчитать самостоятельно. Для этого нужно выбрать одну чешуйку и проследить за рядом соседних чешуек, который по диагонали идёт к верхушке. Затем таким же способом посчитать ряды, закрученные в другую сторону. У многих шишек получатся соседние числа Фибоначчи, хотя встречаются и другие схемы расположения.

Спиральные узоры, связанные с числами Фибоначчи, встречаются у самых разных растений. Вот несколько наглядных примеров:

• Ананас. Ромбики на его кожуре выстраиваются в диагональные спиральные ряды, идущие в разных направлениях. Часто можно насчитать 5, 8 и 13 спиралей — это числа Фибоначчи. Однако такая комбинация встречается не у каждого плода.
• Романеско. Если присмотреться к этой капусте, можно заметить необычный узор: большие конусы состоят из маленьких конусов похожей формы, а те — из ещё более мелких. Получается, что один и тот же рисунок повторяется в разных масштабах. Такую структуру называют фракталоподобной. Кроме того, отдельные элементы романеско располагаются по спирали — этот узор может быть связан с филлотаксисом.
• Кактусы. У некоторых кактусов ареолы — участки, из которых развиваются колючки и другие органы, — образуют спиральные ряды. Иногда число таких спиралей связано с числами Фибоначчи: встречаются пары 5 и 8, 8 и 13, 13 и 21. Однако у кактусов существует множество других вариантов расположения, поэтому считать числа Фибоначчи общим правилом для них нельзя.

Раковину наутилуса часто изображают рядом с золотой спиралью. Они действительно похожи, но математически это разные формы.

Многие раковины по мере роста закручиваются по форме, близкой к логарифмической спирали. Так называют спираль, которая постепенно расширяется: каждый следующий виток становится больше предыдущего, но общая форма спирали сохраняется. Это хорошо подходит для описания роста раковины. Новый материал постепенно добавляется по её краю, поэтому раковина увеличивается, а её общий изгиб остаётся похожим.

Золотая спираль — один из видов логарифмической спирали. У неё есть точная пропорция: за каждый поворот на 90° расстояние от центра увеличивается примерно в 1,618 раза. Это число связано с золотым сечением.

Числа Фибоначчи интересуют не только математиков и биологов. Их используют и в некоторых практических областях:

• В программировании. Представим длинный список данных, расположенных по порядку, в котором нужно быстро найти нужное значение. Для такой задачи существует поиск Фибоначчи. Алгоритм шаг за шагом сужает область поиска, а числа Фибоначчи помогают определить, на какие части её делить.
• В трейдинге. Трейдеры изучают графики, на которых видно, как меняется цена акций, валют и других активов. Некоторые из них наносят на график специальные отметки — уровни Фибоначчи. С их помощью пытаются определить, где движение цены может замедлиться или изменить направление. Но это не способ узнать будущую цену: исследования не подтверждают, что уровни Фибоначчи сами по себе позволяют надёжно предсказывать движение рынка.
• В архитектуре и дизайне. Здесь используют не столько сам ряд Фибоначчи, сколько связанное с ним золотое сечение. С его помощью можно выбирать пропорции частей здания, страницы, изображения или другой композиции. Например, одну часть делают больше другой в определённом соотношении. При этом золотое сечение — лишь один из способов построить композицию, а не универсальная формула красоты.

При этом числовые последовательности в программу входят. В частности, нужно уметь работать с арифметической и геометрической прогрессиями.

Так что ряд Фибоначчи полезно знать как интересный пример числовой последовательности, но при подготовке к ОГЭ важнее сосредоточиться на темах, которые прямо входят в содержание экзамена.

Числа Фибоначчи показывают, как математика проявляется в природе. Они встречаются в спиралях подсолнухов и шишек, узорах ананасов и кактусов — но не как строгий закон, а как часто возникающая закономерность.

Природа разнообразнее любой математической формулы — и именно поэтому искать в ней закономерности так интересно.