Углы повсюду

Ох уж эти углы… С самого детства они нас преследуют. Сначала нам предлагают постоять в углу и подумать о поведении, потом вручают волшебный полукруг-транспортир и просят измерять углы, а позже — искать их на чертежах, потому что они всё время теряются.

Так уж вышло, что углы — это основа геометрии, ведь именно они формируют многоугольники. Казалось бы, можно выдохнуть: теория по многоугольникам изучена, и мы переходим к окружности, у которой углов нет. Ура?

Не совсем. Математическая магия. Сегодня разберём углы в окружности. Да не простые — а золотые.

Центральный угол

В эпоху цифровых часов теряют свою популярность часы со стрелками. А зря — на них удобно объяснять и деление на пять, и движение по окружности, и, конечно, углы.

Стрелки помещены в центр окружности и совершают полный оборот на 360 градусов. В любой момент времени они образуют между собой какой-то угол. Такой угол и называется центральным — с вершиной в центре окружности.

Например, в 13:50 стрелки часов расположены вот таким образом. А какой угол они образуют?

Так как часы имеют форму окружности, полный оборот стрелок составляет 360 градусов. Получается, что минутная стрелка прошла путь в 50 минут из 60, тогда для неё внутри угла остался путь в 10 минут:

$10 \cdot \frac{360^{\circ}}{60} = 60^{\circ}$

А часовая стрелка прошла:

$30^{\circ} + 50 \cdot 0, 5^{\circ} = 55^{\circ}$

Тогда между ними:

$60^{\circ} + 55^{\circ} = 115^{\circ}$

Ну а теперь перейдём к геометрии. Центральный угол всегда опирается на дугу окружности. Принято считать меньший из двух полученных углов, если иного не указано в задаче.

И главное свойство — центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается.

Он похож на Pacman: насколько открыл свой рот, столько градусов и съест.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Вписанный угол

Вписанным называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её в двух точках.

И он уже будет в два раза меньше соответствующего ему центрального угла, то есть равен половине дуги, на которую опирается.

$∠ A C B = \frac{1}{2} ∠ A O B = \frac{1}{2} \cup A B$

Пример 1

Найти центральный угол AOB, если он на 29° больше вписанного угла AKB, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах. [i]

Вот и первый потерянный угол. Но теперь мы его легко отыщем!

Пусть центральный угол ∠AOB = 2x, тогда ∠AKB = x (как вписанный, опирающийся на ту же дугу). По условию задачи $2 x = x + 29 \Rightarrow x = 29$ . Тогда $∠ A O B = 2 \cdot 29 = 58$ градусов.

Ответ: 58.

Свойства центральных и вписанных углов

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда-всегда прямой.
Если вписанный угол прямой, то он всегда-всегда опирается на диаметр.
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

Ну логично же? Но почему-то тяжело запоминается. Поэтому визуализируем!

Горы из круглого окошка, кошачьи ушки и другие ассоциации вызывает этот рисунок к свойству. Запомни: видишь такую конструкцию — ищи равные уголки.

Свойства центральных и вписанных углов 2

Все эти углы прямые, потому что опираются на полуокружность, градусная мера которой равна 180 градусам.

Если вдруг ты не видишь никаких ассоциаций, то листай в конец страницы, и все вопросы сразу пропадут! И на примерах, конечно, сейчас рассмотрим.

Пример 2

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 77°, угол CAD равен 3°. Найти угол ABC . Ответ дайте в градусах. [i]

Так как четырёхугольник ABCD вписан в окружность, то углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Центральные и вписанные углы. Пример 2

∠DAC = ∠DBC = 3°

∠ABC = 77° + 3° = 80°

Ответ: 80.

Пример 3

В окружности с центром O проведены диаметры AB и DC . Вписанный угол ABD равен 81°. Найти центральный угол AOC. Ответ дайте в градусах. [i]

Центральные и вписанные углы. Пример 3

Угол ABD — вписанный, он опирается на дугу AD. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше вписанного.

Поэтому: $∠ A O D = 2 \cdot A B D = 2 \cdot 81^{\circ} = 162^{\circ}$ .

Так как DC — диаметр, значит ∠AOC + ∠AOD = ∠DOC = 180° (смежные). Тогда ∠AOC = 180° − 162° = 18°.

Ответ: 18.

Пример 4

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки K и P. Известно, что ∠ABP = 44°. Найти ∠PKB. [i]

Так как AB — диаметр, то вписанный угол ∠APB, опирающийся на AB, равен 90°.

В треугольнике ABP: ∠PAB = 180° − 90° − 44° = 46°.

Углы PAB и PKB — вписанные и опираются на одну и ту же дугу PB. Значит, они равны.

Следовательно, PKB = 46°.

Ответ: 46.

Пример 5

Точка A лежит вне окружности, а точки B и C принадлежат окружности. Отрезок CA пересекает окружность в точке E, а отрезок BA — в точке D. Найдите угол BAC, если вписанные углы BEC и EBD опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно 173° и 97°. Ответ дайте в градусах. [i]

Центральные и вписанные углы. Пример 5

По свойству вписанного угла: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, $∠ B E C = \frac{1}{2} \cdot 173^{\circ} = 86, 5^{\circ}$ .

$∠ E B D = \frac{1}{2} \cdot 97^{\circ} = 48, 5^{\circ}$ .

Далее можно решить задачу двумя способами:

В $Δ A B E ∠ B E C$ — внешний угол $\Rightarrow ∠ B E C = ∠ A B E + ∠ E A B \Rightarrow 86, 5^{\circ} = x^{\circ} + 48, 5^{\circ}$
x = 86,5° — 48,5°
x = 38°
Используя правила для углов, образованных секущими.
Угол BAC — внешний угол между двумя секущими AB и AC, проведёнными из точки A вне окружности. Он равен половине разности дуг, «вырезаемых» этими секущими (большая дуга минус меньшая):
$∠ B A C = \frac{1}{2} \cdot (дуга B C - дуга E D) = \frac{1}{2} \cdot (173^{\circ} - 97^{\circ}) = \frac{1}{2} \cdot 76^{\circ} = 38^{\circ}$ .

Ответ: 38.

«Откуда взялся второй способ?» — спросишь ты. «Из нашего дополнительного раздела», — ответим мы.

Углы, образованные секущими, касательными и хордами

Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключённых внутри данного угла и угла, вертикального данному, то есть $x = \frac{α + β}{2}$ .

Три картинки — одна формула:
- Угол между секущими, проходящими через одну точку вне окружности, равен полуразности дуг, заключённых внутри угла (то есть из большей дуги вычитаем меньшую) x=-2.

Углы, образованные секущими, касательными и хордами 2

- Угол между секущей и касательной, проходящими через одну точку $x = \frac{β - α}{2}$ .

Углы, образованные секущими, касательными и хордами 3

- Угол между двумя касательными, исходящими из одной точки $x = \frac{β - α}{2}$ .

Углы, образованные секущими, касательными и хордами 4

Помни, что ты всегда можешь подобраться к этим уголкам через треугольники, но ведь знаний много не бывает, правда?

Итоги

Закрепим изученное:

Углы в окружности — как квартиры в Москве: в центре в два раза дороже, чем на окраине (пояснительная бригада: вписанные углы в два раза меньше, чем центральные).
Видишь кошачьи ушки, горный пейзаж (и прочие ассоциации) на чертеже — ищи и отмечай равные углы, которые опираются на одну дугу.