— Как там твоя окружность?
Расположение прямой и окружности
В зависимости от расположения прямая имеет специфическое название: касательная, секущая и хорда.
Давай для начала заглянем во внутреннюю часть окружности, потому что все отрезки взаимодействуют между собой, а нам важно научиться определять взаимосвязь между ними.
Хорда
Отрезок прямой, соединяющий две точки окружности, называется хордой.
- Если хорда проходит через центр окружности, она называется диаметром. Это максимально возможная хорда, длина которой два радиуса.
- Чем ближе хорда к центру окружности, тем она длиннее. И наоборот: чем дальше хорда от центра, тем её длина короче. Отсюда важный вывод: равные хорды находятся на одинаковом расстоянии от центра.
- Если из центра окружности опустить на хорду перпендикуляр (то есть расстояние от точки до хорды), то он всегда попадает в середину хорды. Это из-за того, что радиусы образуют равнобедренный треугольник, а в нём, как ты знаешь, высота и медиана к основанию совпадают.
И наоборот: если прямая из центра делит хорду пополам, то она обязательно расположена перпендикулярно хорде. - Когда две хорды пересекаются внутри окружности, то произведение двух частей одной хорды равно произведению двух частей другой.
- Равные хорды «стягивают» равные дуги.
Пример 1
Найти длину хорды окружности с радиусом 4, на которую опирается вписанный угол, равный 30°.
Проведём радиусы к концам хорды, чтобы получить равнобедренный треугольник. Вписанный угол 30° опирается на дугу, которой соответствует центральный угол 60°, значит, AOB- равносторонний. Тогда длина хорды равна радиусу, то есть 4.
Ответ: 4.
Пример 2
Хорды AB и MN пересекаются в точке K, причём AK = 6, KB = 5, KM = 3. Найти длину MN.
Для пересекающихся хорд выполняется равенство AK · KB = MK · KN.
Подставим значения:
- 6 · 5 = 3 · KN;
- 30 = 3 · KN;
- KN = 10.
Тогда длина хорды MN = KM + KN = 3 + 10 = 13.
Ответ: 13.
Касательная
Прямая, имеющая одну общую точку — точку касания — называется касательной.
Свойства
- Радиус, опущенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
- Отрезки касательных, проведённых из одной точки, лежащей вне окружности, равны.
- Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой между ними.
Совет: в задачах, если речь идёт о касательной (или даже двух касательных), долго не думай и сразу же строй радиус в точку касания! Он образует прямой угол с касательной. А появление прямого угла почти всегда даёт дополнительную информацию для решения.
Пример 3
Хорда AB стягивает дугу окружности в 94°. Найти угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведённой через точку B. Ответ дать в градусах.
Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги между ними.
Тогда $\angle ABC = \frac{\text{дуга } AB}{2} = \frac{94^{\circ}}{2} = 47^{\circ}$.
Ответ: 47.
Пример 4
Через концы A и B дуги окружности с центром O проведены касательные AC и BC. Угол CAB равен 35°. Найти угол AOB. Ответ дать в градусах.
Так как AC — касательная в точке A, то OA ⟂ AC. Тогда ∠OAB = 90° − ∠CAB = 90° − 35° = 55°.
Треугольник AOB — равнобедренный (OA = OB), значит ∠OAB = ∠OBA = 55°.
Тогда ∠AOB = 180° − 55° − 55° = 70°.
Ответ: 70.
Пример 5
Найдите угол ABC, если его сторона AB касается окружности в точке A, O — центр окружности, сторона BC пересекает окружность в точке S, дуга AS окружности, заключённая внутри этого угла, равна 14°. Ответ дайте в градусах.
AB — касательная к окружности в точке A, поэтому OA ⟂ AB. Угол между касательной AB и секущей BC ∠ABC = ½ дуги AS ∠ABC = ½ · 14° = 7°.
Ответ: 7.
Пример 6
Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 144°. Найти величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дать в градусах.
Способ 1. Пусть меньшая дуга AB имеет меру x, большая дуга — 360° − x.
Угол $\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot [(\text{большая дуга } AB) − (\text{малая дуга } AB)] = \frac{1}{2} \cdot [(360^\circ − x) − x] = 180^\circ − x$.
Тогда 180° − x = 144°.
x = 36°. Подробнее об этом способе можно почитать тут.
Способ 2. Так как отрезки касательных из одной точки равны, то ACB-равнобедренный → углы при основании равны → $\angle CAB = \frac{1}{2} \cdot (180 − 144) = 18$ — угол между касательной и хордой малая дуга AB = 36.
Ответ: 36.
Секущая
Если прямая пересекает окружность в двух точках, она называется секущей. С ней связано несколько важных соотношений.
Теорема о секущей и касательной
Произведение длины отрезка секущей на её внешнюю часть равно квадрату длины касательной, если они проведены из одной точки.
Подобные треугольники
«Они-то здесь откуда?» — спросишь ты. «От количества равных уголков», — ответим мы.
Пересекающиеся хорды
Пересекающиеся хорды образуют две пары подобных треугольников.
Касательная и секущая
Если в окружности соединить точки касания касательной и пересечения секущей хордами, то получится пара подобных треугольников.
Немного про антипараллельность, или теорема о том, что четыре точки лежат на окружности
Если соединить хордами точки пересечения секущих, проведенных из одной точки и окружности таким образом, чтобы образовался четырёхугольник, то появляется пара подобных треугольников.
В таком случае прямые AB и A1B1 называются антипараллельными. Запомни такую конструкцию: четыре точки B1A1BA образуют вписанный четырёхугольник и, как ты видишь, лежат на одной окружности.
В профильном ЕГЭ задачи на свойства секущей приберегли для второй части, поэтому пока просто ознакомься и имей в виду эту базу. Когда встретишь похожие конструкции в задаче, остановись и подумай:
- Я что-то такое припоминаю…
- Кажется, надо подобные треугольники поискать.
А ещё в любой задаче, где есть окружность, всегда строй радиус — иногда сразу несколько. Важно расположить их так, чтобы они помогли решить задачу.
Например:
- есть касательная (или описанный четырёхугольник) — проведи радиус к точке касания: появится прямой угол;
- есть хорда — проведи радиусы к её концам: получится равнобедренный треугольник;
- есть секущая — подумай о касательной или о подобии треугольников.
И помни: без теории геометрию не покорить. Вот уж действительно знание — суперсила!
Автор:
Литвиненко Мария, учитель математики АНОО «Областная гимназия им. Е. М. Примакова
