В заданиях 4 и 5 профильного ЕГЭ по математике на теорию вероятностей часто нужно подсчитать количество исходов. Ошибки здесь обычно возникают из-за путаницы между правилом произведения, перестановками и размещениями. Разберём, как отличать эти виды комбинаций и когда нужно складывать варианты, а когда — умножать. Изучив этот материал, ты поймёшь логику расчётов и сможешь уверенно решать задачи по комбинаторике на экзамене.
Основная теория
В основе всей комбинаторики и теории вероятностей лежат методы подсчёта комбинаций. Разберём их последовательно.
Правило произведения
Действие правила произведения легко представить на реальном примере. Допустим, у тебя есть три разные футболки и двое разных джинсов. Из них можно составить ровно шесть различных образов, так как каждая футболка комбинируется с каждыми джинсами.
Если первый элемент можно выбрать $m$ способами, а второй элемент — $n$ способами, то совместный набор из двух элементов можно составить $m \cdot n$ способами.
Это правило работает для любого количества независимых действий.
Перестановки
Перестановки — это комбинации, которые состоят из одного и того же набора элементов, а отличаются только порядком их расположения.
Представь пять книг на полке. Мы берём все пять штук и меняем их местами. Количество всех возможных комбинаций вычисляется по формуле $P_n = n!$, где символ факториала (восклицательный знак) означает произведение всех натуральных чисел от единицы до числа $n$. Например, $3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$. По правилам математики $0! = 1$.
Размещения
Размещения — это комбинации, при которых мы выбираем только часть элементов из множества, и порядок выбранных объектов имеет значение.
Количество размещений из $n$ элементов по $k$ позиций обозначают буквой $A$ и вычисляют по формуле $A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$. Размещение используется там, где роли выбранных элементов отличаются друг от друга: президент и вице-президент или первая и вторая цифры пароля.
Как быстро определить нужную формулу
- Используются все элементы?
ДА → Перестановки: $P_n = n!$,
НЕТ → Выбираем часть из $n$ по $k$:
- Порядок важен → Размещения: $A_{n}^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$,
- Порядок неважен → Сочетания: $C_{n}^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$.
- Независимые последовательные действия?
→ Правило произведения: перемножаем варианты.
Алгоритм решения комбинаторных задач
Чтобы не запутаться на экзамене, используй универсальный алгоритм:
- Прочитай условие и задай себе вопрос: используются все доступные элементы или выбирается только их часть?
- Если берутся все элементы и просто меняется их порядок, используй факториал (перестановки).
- Если выбирается часть элементов, посмотри, важен ли порядок этого выбора. Если важен, применяй формулу размещений.
- Если действия происходят последовательно и результаты не зависят друг от друга (например, броски монеты), просто перемножай варианты.
- В задачах на вероятность раздели количество благоприятных исходов на общее количество возможных исходов.
Разбор типичных заданий профильного ЕГЭ
Независимые испытания
В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.
Шаг 1. Определение общего количества исходов. При каждом броске монета может выдать орла или решку. Это два варианта. Монету бросают три раза. Применяем правило произведения: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. Общее число равновозможных исходов равно $8$.
Шаг 2. Поиск благоприятных исходов. Условие требует, чтобы решка не выпала ни одного раза. Следовательно, подходит только одна комбинация: орёл, орёл, орёл. Количество благоприятных исходов равно $1$.
Шаг 3. Подсчёт вероятности. Разделим единицу на восемь: $\dfrac{1}{8} = 0{,}125$.
Ответ: 0,125.
Использование размещений
В студенческой группе обучаются 23 человека. Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя?
Шаг 1. Анализ условия. Нужно выбрать двоих людей из двадцати трёх. Роли у этих двоих разные: один командует, второй помогает. Порядок имеет значение. Значит, применяем формулу размещений.
Шаг 2. Расчёт по формуле. Подставим значения: $A_{23}^2 = \dfrac{23!}{(23-2)!}$. Знаменатель равен $21!$. Если расписать числитель, то $23!$ представляет собой произведение $21! \cdot 22 \cdot 23$. Факториалы сократятся, и останется вычислить произведение $22 \cdot 23$.
Шаг 3. Вычисление результата. Умножим $22$ на $23$ и получим $506$.
Ответ: 506.
Комбинированная вероятность
За круглый стол на 5 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.
Шаг 1. Общее количество рассадок. Всего есть $5$ участников и $5$ стульев. Порядок, в котором люди занимают места, имеет значение. Количество всех способов рассадить $5$ человек за столом равно $5!$, что даёт $120$ вариантов.
Шаг 2. Благоприятные исходы. Нужно, чтобы девочки сидели рядом. Всего существует $5$ пар соседних стульев вокруг стола. Девочки могут занять любую из этих пяти пар. Внутри выбранной пары девочки могут поменяться местами, это даёт $2! = 2$ варианта. Оставшиеся три мальчика рассаживаются на три пустых места — это $3! = 6$ вариантов.
Шаг 3. Применение правила произведения. Перемножим выбор стульев, перестановку девочек и перестановку мальчиков: $5 \cdot 2 \cdot 6 = 60$. Это благоприятные исходы.
Шаг 4. Итоговое вычисление. Разделим $60$ на $120$ и получим $0{,}5$.
Ответ: 0,5.
Главные ловушки экзамена
Избежать обидной потери баллов поможет понимание проблемных мест, на которых часто ловят школьников составители заданий.
- Сложение вариантов вместо умножения. Нельзя бросить игральную кость дважды и считать, что общее число исходов равно $6 + 6 = 12$. Нужно применять правило умножения независимых событий и находить результат: $6 \cdot 6 = 36$.
- Непонимание нуля факториала. Нельзя заменять $0!$ на ноль при вычислениях. Нужно чётко помнить, что $0! = 1$.
- Невнимательное чтение отрицаний. Если в задаче сказано «решка не выпала ни разу», не нужно считать комбинации с одной или двумя решками. Лучше перевести фразу в утверждение «выпали только орлы» и найти единственный подходящий исход.
Задания для самопроверки
Попробуй применить прочитанный материал самостоятельно. Ответы скрыты под кнопками.
Задание 1. В ресторане подают 4 вида супа, 5 вторых блюд и 3 десерта. Сколько вариантов комплексного обеда из трёх блюд по одному каждого вида можно заказать?
Применяем правило произведения. Получится $4 \cdot 5 \cdot 3 = 60$ вариантов обеда.
Ответ: 60.
Задание 2. В очереди стоят 4 человека. Сколькими способами они могут поменяться местами друг с другом?
Участвуют все элементы множества, важен порядок. Переставляем все доступные элементы, то есть находим факториал: $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$.
Ответ: 24.
Задание 3. Из 10 спортсменов нужно выбрать капитана беговой команды, его помощника и ответственного за инвентарь. Сколько существует вариантов такого выбора?
Выбираем трёх человек из десяти, причём должности значительно отличаются друг от друга (порядок важен). Используем формулу размещений из десяти по три: $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$.
Ответ: 720.
Заключение
После изучения этого материала ты сможешь уверенно определять тип комбинаторной задачи в первой части профильного ЕГЭ по математике. Теперь ты умеешь отличать перестановки от размещений, корректно применять правило произведения для расчёта вероятностей и не попадаться в типичные ловушки с вычислением факториалов. Алгоритм поможет безошибочно находить нужное количество исходов. Чтобы закрепить знания на практике, рекомендуем решить 8–10 задач из банка заданий.
