Дополнительные построения в трапеции для профильного ЕГЭ по математике

В задачах на трапецию чаще всего работают пять приёмов. Их не требуется выводить заново на экзамене: достаточно понять, по каким признакам выбирать нужное построение.

Высоты из вершин меньшего основания

Если из вершин меньшего основания опустить высоты на большее основание, трапеция разобьётся на прямоугольник и два прямоугольных треугольника.

Этот приём особенно удобен для равнобедренной трапеции. В ней боковые треугольники, отсечённые высотами, равны, поэтому отрезки на большем основании тоже равны.

Обычно этот метод выбирают, если в условии есть:

• равнобедренная трапеция,
• высота,
• основания,
• боковая сторона,
• углы при основании.

Прямая, параллельная боковой стороне

Через вершину верхнего основания можно провести прямую, параллельную противоположной боковой стороне. Тогда трапеция делится на параллелограмм и треугольник.

У получившегося треугольника:

• две стороны равны боковым сторонам исходной трапеции;
• третья сторона равна разности оснований $a-b$.

Этот метод полезен, когда известны все четыре стороны трапеции или нужно найти высоту без тригонометрии.

Прямая, параллельная диагонали

Иногда удобнее работать не с боковыми сторонами, а с диагоналями. Тогда через вершину верхнего основания проводят прямую, параллельную одной из диагоналей, до пересечения с продолжением нижнего основания.

В результате получается треугольник, у которого:

• две стороны связаны с диагоналями трапеции;
• третья сторона равна сумме оснований $a + b$;
• площадь равна площади исходной трапеции.

Такой приём помогает, если в задаче даны диагонали и угол между ними.

Продление боковых сторон

Если продолжить боковые стороны трапеции, они пересекутся в одной точке. Возникают два подобных треугольника: большой с основанием, равным большему основанию трапеции, и малый с основанием, равным меньшему основанию.

Этот метод особенно полезен, если в условии сказано, что сумма углов при большем основании равна $90^\circ$. Тогда после продления боковых сторон получается прямоугольный треугольник.

Построения через середины сторон

Такие построения помогают в задачах на середины сторон, медианы, средние линии и отношения отрезков.

Чтобы не перебирать варианты наугад, действуй по алгоритму.

1. Определи, что дано в условии. Посмотри, какие величины известны: основания, боковые стороны, диагонали, углы, высота или середины отрезков.
2. Выбери подходящий приём. Если известны все стороны, чаще всего помогает прямая, параллельная боковой стороне. Если даны диагонали, стоит попробовать построение параллельно диагонали. Если сумма углов при основании равна $90^\circ$, продлевай боковые стороны.
3. Перенеси данные на новую фигуру. После построения подпиши равные стороны, параллельные прямые, углы и известные отрезки.
4. Сведи задачу к знакомой теме. Обычно после построения остаётся применить теорему Пифагора, подобие треугольников, свойство медианы к гипотенузе или формулу площади.

Ниже — адаптированные задачи в формате профильного ЕГЭ по математике. В каждой задаче ключевой шаг связан с дополнительным построением.

Продление боковых сторон до пересечения

В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ параллельны, причём $AD > BC$. Сумма углов при большем основании $AD$ равна $90^\circ$. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований.

Решение

Шаг 1. Продлим боковые стороны $AB$ и $CD$ до пересечения в точке $K$.

Шаг 2. В треугольнике $AKD$ углы при основании равны углам трапеции при большем основании. По условию их сумма равна $90^\circ$, значит, $\angle AKD = 180^\circ-90^\circ = 90^\circ.$
Треугольник $AKD$ прямоугольный.

Шаг 3. Обозначим середину основания $AD$ через $M$, а середину основания $BC$ — через $N$.
Так как $BC \parallel AD$, треугольники $KBC$ и $KAD$ подобны. Точка $N$ — середина $BC$, точка $M$ — середина $AD$, поэтому точки $K$, $N$ и $M$ лежат на одной прямой.

Шаг 4. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Поэтому $KM = \dfrac{AD}{2}, \, KN = \dfrac{BC}{2}.$
Тогда $MN = KM-KN = \dfrac{AD}{2}-\dfrac{BC}{2} = \dfrac{AD-BC}{2}.$

Ответ: отрезок, соединяющий середины оснований, равен $\dfrac{AD-BC}{2}$.

Прямая, параллельная боковой стороне

В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ параллельны, $AD = 12$, $BC = 2$, боковые стороны равны $6$ и $8$. Найдите площадь трапеции.

Решение

Шаг 1. Проведём через вершину $C$ прямую, параллельную боковой стороне $AB$. Пусть она пересекает основание $AD$ в точке $P$.
Тогда четырёхугольник $ABCP$ — параллелограмм, поэтому $AP = BC = 2, \, CP = AB = 6.$

Шаг 2. Найдём отрезок $PD$: $PD = AD-AP = 12-2 = 10.$

Шаг 3. Рассмотрим треугольник $PCD$. Его стороны равны: $CP = 6, \, CD = 8, \, PD = 10.$
Так как $6^2 + 8^2 = 10^2,$ треугольник $PCD$ прямоугольный (по обратной теореме Пифагора).

Шаг 4. Площадь этого треугольника равна: $S_{PCD} = \dfrac{6 \cdot 8}{2} = 24.$

Шаг 5. Эту же площадь можно выразить через основание $PD$ и высоту $h$: $24 = \dfrac{10 \cdot h}{2}.$
Отсюда $h = 4{,}8.$

Шаг 6. Высота треугольника $PCD$, опущенная на $PD$, совпадает с высотой трапеции. Тогда площадь трапеции: $S = \dfrac{AD + BC}{2} \cdot h = \dfrac{12 + 2}{2} \cdot 4{,}8 = 33{,}6.$

Ответ: $33{,}6$.

Вписанная трапеция и диагонали

В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ параллельны. Углы $\angle ABD$ и $\angle ACD$ прямые, $\angle BAC = 30^\circ$, $BC = 4$. Докажите, что $AB = CD$, и найдите основание $AD$.

Решение

Шаг 1. Так как $\angle ABD = 90^\circ$, точка $B$ лежит на окружности с диаметром $AD$. По той же причине из условия $\angle ACD = 90^\circ$ точка $C$ тоже лежит на этой окружности.

Шаг 2. Значит, точки $A$, $B$, $C$ и $D$ лежат на одной окружности. Вписанная в окружность трапеция — равнобедренная, поэтому $AB = CD.$
Первая часть доказана.

Шаг 3. Теперь найдём $AD$.
Обозначим $\angle BAD = x.$

Шаг 4. В равнобедренной трапеции углы при основании равны, значит, $\angle CDA = x.$

Шаг 5. В треугольнике $ACD$ угол $\angle ACD$ прямой, поэтому $\angle CAD = 90^\circ-x.$
По условию $\angle BAC = 30^\circ.$
При этом $\angle BAC = \angle BAD-\angle CAD.$

Шаг 6. Подставим выражения:
$30^\circ = x-(90^\circ-x),$
$30^\circ = 2x-90^\circ,$
$2x = 120^\circ,$
$x = 60^\circ.$
Значит, $\angle BAD = 60^\circ.$

Шаг 7. В прямоугольном треугольнике $ABD$ угол $\angle ABD = 90^\circ,$
поэтому $\angle ADB = 30^\circ.$

Шаг 8. Углы $\angle BAC$ и $\angle BDA$ равны, следовательно, они опираются на равные хорды одной окружности. Значит, $BC = AB.$
По условию $BC = 4$, значит, $AB = 4.$

Шаг 9. В прямоугольном треугольнике $ABD$ сторона $AB$ лежит напротив угла $30^\circ$. В таком треугольнике гипотенуза в два раза больше катета, лежащего напротив угла $30^\circ$: $AD = 2AB = 2 \cdot 4 = 8.$

Ответ: $AB = CD, \, AD = 8$.

При дополнительных построениях важно не переносить свойства одной фигуры на другую без основания.

Ошибка: считать боковые отрезки у основания равными в любой трапеции.
Если из вершин меньшего основания опустить две высоты, равные отрезки по краям появляются только в равнобедренной трапеции. В произвольной трапеции эти отрезки обычно разные.

Ошибка: считать диагональ биссектрисой угла.
Диагональ не обязана делить угол пополам. Это верно только при дополнительных условиях, например в ромбе или квадрате. В трапеции такое свойство нужно доказывать отдельно.

Ошибка: бояться продолжать стороны за пределы рисунка.
Чертёж в тетради может быть неудобным, но это не влияет на решение. Если по условию нужно продлить боковые стороны до пересечения, рисуй схематично и опирайся на углы, параллельность и подобие.

Ошибка: забывать, какая фигура получилась после построения.
Если проведена прямая, параллельная боковой стороне, обычно появляется параллелограмм и треугольник. Свойства параллелограмма нельзя автоматически применять к треугольнику.

Вопрос 1
В задаче даны длины обеих диагоналей трапеции и угол между ними. Какое дополнительное построение помогает найти площадь?

Вопрос 2
В условии сказано, что сумма углов при большем основании равна $90^\circ$. Какое построение стоит сделать?

Задача
В трапеции основания равны $5$ и $10$, а боковые стороны равны $3$ и $4$. Найдите высоту без использования тригонометрии.

Дополнительные построения в трапеции помогают свести сложную задачу к знакомым фигурам: прямоугольным треугольникам, параллелограммам и подобным треугольникам. Теперь ты знаешь, когда проводить высоты, когда использовать прямую, параллельную боковой стороне или диагонали, и когда продлевать боковые стороны. На экзамене сначала анализируй условие задачи, а потом выбирай построение. Чтобы закрепить тему, реши несколько задач на трапецию в «100балльном банке».