Тема векторов в ЕГЭ по профильной математике встречается в задании 2 первой части и служит отличным инструментом для решения сложной стереометрии из задания 14. Ошибки здесь обычно возникают из-за механического заучивания формул без понимания их геометрического смысла. Разберём, как находить координаты вектора и выполнять с ними математические операции. После статьи ты сможешь решать такие геометрические задачи алгебраически, всего в несколько строчек.
Базовая теория
Вектор — это направленный отрезок, у которого чётко заданы начало и конец.
Его обычно обозначают двумя заглавными буквами со стрелкой сверху ($\overrightarrow{AB}$) или одной строчной буквой ($\overrightarrow{a}$).
Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца отрезка вычесть соответствующие координаты начала. Если известны точки $A(x_1; y_1; z_1)$ и $B(x_2; y_2; z_2)$, то направленный отрезок $\overrightarrow{AB}$ имеет координаты $\{x_2−x_1; y_2−y_1; z_2−z_1 \}$.
Длина вектора ($|\overrightarrow{a}|$) — это расстояние между его начальной и конечной точками. Если $\overrightarrow{a} = \{ x_a; y_a; z_a \}$, то $|\overrightarrow{a}| = \sqrt{x^2_a + y^2_a + z^2_a}$.
Сложение и вычитание векторов
При сложении двух векторов их соответствующие координаты просто складываются. Если нужно найти разность, то координаты вычитаются.
Например, если $\overrightarrow{a} = \{ x_a; y_a; z_a \}$ и $\overrightarrow{b} = \{ x_b; y_b; z_b \}$, то:
$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \{ x_a + x_b; y_a + y_b; z_a + z_b \}$
$\overrightarrow{a}−\overrightarrow{b} = \{ x_a−x_b; y_a−y_b; z_a−z_b \}$
Геометрически сумма находится по правилу треугольника. Для этого нужно совместить начало второго вектора $\overrightarrow{b}$ с концом первого $\overrightarrow{a}$. Итоговой суммой станет новый вектор, соединяющий стартовую точку первого отрезка и конечную точку второго. Вектор разности — это вектор, который в сумме с вычитаемым даёт изначальное уменьшаемое.
Умножение вектора на число
Произведение ненулевого вектора на действительное число $k$ образует новый вектор. Его длина изменяется в $|k|$ раз. Если множитель положительный, геометрическое направление сохраняется. Если отрицательный, направление меняется на строго противоположное.
При умножении каждая координата исходного вектора умножается на заданное число $k$. Если $\overrightarrow{a} = \{ x_a; y_a; z_a \}$, то $k\overrightarrow{a} = \{ kx_a; ky_a; kz_a \}$ и $|k\overrightarrow{a}| = |k| \cdot |\overrightarrow{a}|$.
Скалярное произведение векторов
Скалярное произведение — это операция над двумя векторами, равная некоторому числу.
Пусть $\overrightarrow{a} = \{ x_a; y_a; z_a \}$ и $\overrightarrow{b} = \{ x_b; y_b; z_b \}$, тогда их скалярное произведение можно вычислить по одной из двух формул:
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos \varphi$
где $\varphi$ — угол между $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$.
Алгоритм решения заданий первой части
Чтобы решать задачи, используй этот пошаговый план:
- Внимательно прочитай условие и выпиши известные координаты векторов.
- Выполни умножение на число для каждого вектора, если перед ним стоит коэффициент.
- Сложи или вычти полученные координаты. Делай это строго по соответствующим осям.
- Вычисли искомую величину. Длину вектора находи как квадратный корень из суммы квадратов всех его координат.
- Выполни самопроверку вычислений.
Практика: примеры заданий из экзамена
Посмотрим на решение прототипов задания 2 профильного ЕГЭ.
Пример № 1
Найдите длину вектора $3\vec{a} + \vec{b}$, если известны значения $\vec{a} = \{1; 2; 1\}$ и $\vec{b} = \{0; 6; 1\}$.
Решение
Шаг 1. Сначала найдём координаты вектора $3\vec{a}$:
$3\vec{a} = \{3 \cdot 1; 3 \cdot 2; 3 \cdot 1\} = \{3; 6; 3\}$
Шаг 2. Выполним сложение векторов $3\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$3\vec{a} + \vec{b} = \{3; 6; 3\} + \{0; 6; 1\} = \{3 + 0; 6 + 6; 3 + 1\} = \{3; 12; 4\}$
Шаг 3. Вычислим длину вектора $3\vec{a} + \vec{b}$:
$|3\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3^2 + 12^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 144 + 16} = \sqrt{169} = 13$
Ответ: $13$.
Пример № 2
Вычислите скалярное произведение векторов $\vec{a} = \{5; −7; 4\}$ и $\vec{b} = \{14; 1; 0\}$.
Решение
Вычислим скалярное произведение по формуле $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$:
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 5 \cdot 14 + (−7) \cdot 1 + 4 \cdot 0 = 70−7 + 0 = 63$
Ответ: $63$.
Пример № 3
Вектор $\overrightarrow{AB}$ с концом в точке $B(−22; −1; 5)$ имеет координаты $\{8; 7; 2\}$. Найдите абсциссу точки $A$.
Решение
Шаг 1. Обозначим искомую абсциссу точки $A$ за параметр $x$. Координаты вектора — это разность между координатами его конца и начала. Тогда уравнение будет выглядеть так:
$−22−x = 8$
Шаг 2. Решим уравнение:
$−x = 8 + 22, \, −x = 30, \, x = −30$
Ответ: $−30$.
Типичные ошибки и ловушки
Ознакомься с основными экзаменационными ловушками:
- Ошибка с направлением вычитания координат. Строго и последовательно вычитай координаты начала из координат конца.
- Потеря минусов в координатах. Если координата точки или вектора отрицательная, то обязательно подставляй её вместе с минусом.
- Суммирование длин вместо суммирования координат. При поиске длины суммы векторов нельзя просто складывать длины участников суммы. Сначала нужно найти координаты итоговой суммы и только затем вычислить её длину.
Проверка знаний
Реши несколько заданий на закрепление материала.
Задание № 1
Вычислите длину вектора $\vec{a} = \{−24; −6; 8\}$.
Вычислим $|\vec{a}|$ по формуле:
$|\vec{a}| = \sqrt{(−24)^2 + (−6)^2 + 8^2} = \sqrt{576 + 36 + 64} = \sqrt{676} = 26$.
Ответ: $26$.
Задание № 2
Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a} = \{2; 3; −1\}$ и $\vec{b} = \{−1; 4; 2\}$.
Вычислим скалярное произведение по формуле $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$:
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \cdot (−1) + 3 \cdot 4 + (−1) \cdot 2 = −2 + 12−2 = 8$.
Ответ: $8$.
Заключение
Векторы и их координаты подчиняются чётким правилам алгебраических действий. Теперь ты умеешь безошибочно находить координаты, выполнять сложение, умножать направленные отрезки на число и применять векторную базу в стереометрии. Эти знания помогут уверенно забрать балл в тестовой части ЕГЭ и дадут сильное преимущество при оформлении задания 14. Чтобы закрепить тему, порешай аналогичные прототипы в «100балльном банке» — там собрана актуальная практика разного уровня сложности.
