Радианная мера угла используется в тригонометрии и регулярно встречается в заданиях ЕГЭ по математике. Ошибки в этой теме чаще всего связаны со знаками синуса и косинуса, отрицательными углами и путаницей между градусами и радианами. Разберём, как устроена единичная окружность, как поворачивается точка вокруг начала координат и как применять это в вычислениях.

Радианная мера угла и единичная окружность

В тригонометрии углы измеряют в градусах и радианах. Градусы удобны в геометрии, а радианы чаще используются при работе с тригонометрическими функциями и их графиками в алгебре.

Радианная мера угла

Один радиан — это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности.
Радианная мера угла равна отношению длины дуги окружности к радиусу этой окружности:
$α = \frac{l}{R},$
где $l$ — длина дуги, $R$ — радиус окружности.А. Г. Мерзляк, Д. А. Номировский, В. Б. Полонский, М. С. Якир — Математика. Алгебра и начала математического анализа. Базовый уровень:10 класс:учебник / А. Г. Мерзляк, Д. А. Номировский, В. Б. Полонский, М. С. Якир ; под ред. В. Е. Подольского. — 5‑е изд., стер. — Москва:Вентана‑Граф, 2020. — 367, [1] с.:табл., цв. ил. — (Российский учебник:РУ). — ISBN 978‑5‑360‑11772‑8.[i]

Длина всей окружности радиуса $R$ равна $2 π R$ . Значит, полный оборот имеет радианную меру:

\frac{2 π R}{R} = 2 π .

Отсюда получаем основные соответствия:

полный оборот — $2 π$ радиан, или $360^{\circ}$ ;
развёрнутый угол — $π$ радиан, или $180^{\circ}$ ;
прямой угол — $\frac{π}{2}$ радиан, или $90^{\circ}$ .

Чтобы перевести градусы в радианы, используют формулу:
$α_{рад} = \frac{α^{\circ} \cdot π}{180^{\circ}} .$
Чтобы перевести радианы в градусы, используют обратную формулу:
$α^{\circ} = \frac{α_{рад} \cdot 180^{\circ}}{π} .$ А. Г. Мерзляк, Д. А. Номировский, В. Б. Полонский, М. С. Якир — Математика. Алгебра и начала математического анализа. Базовый уровень:10 класс:учебник / А. Г. Мерзляк, Д. А. Номировский, В. Б. Полонский, М. С. Якир ; под ред. В. Е. Подольского. — 5‑е изд., стер. — Москва:Вентана‑Граф, 2020. — 367, [1] с.:табл., цв. ил. — (Российский учебник:РУ). — ISBN 978‑5‑360‑11772‑8.[i]

Единичная окружность

Начальная точка на единичной окружности имеет координаты $(1; 0)$ и лежит на положительной полуоси $O x$ .
Направления обхода такие:
положительное направление — против часовой стрелки;
отрицательное направление — по часовой стрелке.
Именно с этой окружностью связаны значения синуса и косинуса. Если точка после поворота имеет координаты $(x; y)$, то:
$x = \cos α, y = \sin α .$ А. Г. Мерзляк, Д. А. Номировский, В. Б. Полонский, М. С. Якир — Математика. Алгебра и начала математического анализа. Базовый уровень:10 класс:учебник / А. Г. Мерзляк, Д. А. Номировский, В. Б. Полонский, М. С. Якир ; под ред. В. Е. Подольского. — 5‑е изд., стер. — Москва:Вентана‑Граф, 2020. — 367, [1] с.:табл., цв. ил. — (Российский учебник:РУ). — ISBN 978‑5‑360‑11772‑8.[i]

Поворот точки вокруг начала координат

Пусть начальная точка $P_{0}$ имеет координаты $(1; 0)$. Каждому действительному числу $α$ соответствует точка $P$ на единичной окружности. Эта точка получается поворотом $P_{0}$ на угол $α$ радиан.

Поворот точки по единичной окружности на угол альфа от точки 1; 0 вокруг начала координат.

Если $α > 0$ , поворот будет против часовой стрелки. Если $α < 0$ — по часовой стрелке.

Как найти точку по заданному углу

Длина единичной окружности равна $2 π$ . Поэтому если прибавить к углу $2 π$ , точка совершит полный оборот и вернётся туда же.

Углы $α$ и $α + 2 π k$ , где $k$ — любое целое число, соответствуют одной и той же точке на единичной окружности.

Чтобы найти положение точки по углу, нужно:

Выделить из угла целое количество полных оборотов $2 π k$ .
Отбросить эти полные обороты.
Отложить оставшийся угол от точки $(1; 0)$ в нужном направлении.
Определить координатную четверть или ось, на которую попала точка.

Знаки синуса и косинуса зависят от четверти:

Знаки синуса и косинуса в координатных четвертях на единичной окружности.

Граничные точки соответствуют углам $0$, $\frac{π}{2}$ , $π$ , $\frac{3 π}{2}$ . Они лежат на координатных осях и не относятся ни к одной четверти.

Точки единичной окружности на осях координат для углов 0, π/2, π и 3π/2.

Для таких точек значения синуса и косинуса определяются по координатам:

$α = 0$ : точка $(1; 0)$, значит, $\cos 0 = 1, \sin 0 = 0$ ;
$α = \frac{π}{2}$ : точка $(0; 1)$, значит, $\cos \frac{π}{2} = 0, \sin \frac{π}{2} = 1$ ;
$α = π$ : точка $(-1; 0)$, значит, $\cos π = - 1, \sin π = 0$ ;
$α = \frac{3 π}{2}$ : точка $(0; - 1)$ , значит, $\cos \frac{3 π}{2} = 0, \sin \frac{3 π}{2} = - 1$ .

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Алгоритм решения заданий

Если нужно определить значение тригонометрического выражения, удобно действовать по шагам.

Убери лишние полные обороты, если угол больше $2 π$ или меньше $- 2 π$ .
Определи направление движения: плюс означает движение против часовой стрелки, минус — по часовой стрелке.
Найди, куда попадёт точка после поворота от $(1; 0)$.
Определи четверть или координатную ось.
Поставь знак синуса или косинуса.
Подставь известное значение и выполни вычисления.

Примеры решения заданий

Разберём два типовых примера в формате задания 7 ЕГЭ по математике.

Пример № 1

Найти значение выражения:

20 \sqrt{2} \cdot \cos (- \frac{π}{4}) \cdot \sin (- \frac{π}{6}) .

Решение

Рассмотрим первый множитель:

\cos (- \frac{π}{4}) .

Угол отрицательный, значит, поворот будет по часовой стрелке. Точка попадает в четвёртую четверть, где косинус положителен. Поэтому:

\cos (- \frac{π}{4}) = \cos \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} .

Теперь рассмотрим второй множитель:

\sin (- \frac{π}{6}) .

Поворот снова идёт по часовой стрелке, точка попадает в четвёртую четверть. В четвёртой четверти синус отрицателен, значит:

\sin (- \frac{π}{6}) = - \sin \frac{π}{6} = - \frac{1}{2} .

Подставим найденные значения и выполним умножение:

20 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) = - \frac{20 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{4} = - 5 \cdot 2 = - 10 .

Ответ: $- 10$ .

Пример № 2

Вычислить значение выражения:
$2 \sqrt{3} \cos^{2} \frac{13 π}{12} - \sqrt{3} .$ [i]

Решение

Вынесем общий множитель за скобки:

2 \sqrt{3} \cos^{2} \frac{13 π}{12} - \sqrt{3} = \sqrt{3} (2 \cos^{2} \frac{13 π}{12} - 1) .

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла ( $\cos 2 α = 2 \cos^{2} α - 1$ ):

\sqrt{3} (2 \cos^{2} \frac{13 π}{12} - 1) = \sqrt{3} \cos (2 \cdot \frac{13 π}{12}) = \sqrt{3} \cos \frac{13 π}{6} .

Представим аргумент косинуса в виде суммы так, чтобы можно было убрать лишние обороты $2 π$ :

\sqrt{3} \cos \frac{13 π}{6} = \sqrt{3} \cos (\frac{12 π + π}{6}) = \sqrt{3} \cos (2 π + \frac{π}{6}) .

Воспользуемся тем, что $\cos (α + 2 π) = \cos α$ :

\sqrt{3} \cos (2 π + \frac{π}{6}) = \sqrt{3} \cos \frac{π}{6} .

Найдём значение выражения:

\sqrt{3} \cos \frac{π}{6} = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} = 1, 5 .

Ответ: $1,5$.

Типичные ошибки

При решении заданий по этой теме чаще всего возникают следующие ошибки:

Путаница между градусами и радианами. Если в аргументе функции нет символа градуса, угол записан в радианах.
Потеря знака при отрицательном угле. Минус перед углом меняет направление поворота. Например, $\sin (- x) = - \sin x$ и $\cos (- x) = \cos x$ . Если забыть про направление движения, легко поставить неверный знак.
Ошибки на координатных осях. Если точка попала на ось, она не находится в четверти. В этом случае нужно смотреть на координаты точки. Например, при угле $\frac{π}{2}$ точка имеет координаты $(0; 1)$. Поэтому $\cos \frac{π}{2} = 0$ и $\sin \frac{π}{2} = 1$ .

Проверь себя

Реши задания для закрепления знаний.

Задание № 1

Переведи угол $45^{\circ}$ в радианы.

Используем формулу перевода:

$α_{рад} = \frac{α^{\circ} \cdot π}{180^{\circ}} = \frac{45 \cdot π}{180} = \frac{π}{4} .$

Ответ: $\frac{π}{4}$ радиан.

Задание № 2

В какой координатной четверти окажется точка при повороте на $120^{\circ}$ ?

Угол $120^{\circ}$ больше $90^{\circ}$ , но меньше $180^{\circ}$ . Значит, точка окажется во второй четверти.

Ответ: вторая четверть.

Задание № 3

Какой знак имеет выражение $\sin \frac{17 π}{16}$ ?

Так как $π < \frac{17 π}{16} < \frac{3 π}{2}$ , этот угол располагается в третьей четверти. В третьей четверти синус отрицателен.

Ответ: минус.

Заключение

Теперь ты умеешь переводить углы из градусов в радианы, находить положение точки на единичной окружности и определять знаки тригонометрических функций. Эти навыки помогают решать задания ЕГЭ, где нужно быстро вычислять значения синусов, косинусов и выражений с ними. Чтобы закрепить тему, реши несколько похожих заданий в «100балльном банке».