Радианная мера угла используется в тригонометрии и регулярно встречается в заданиях ЕГЭ по математике. Ошибки в этой теме чаще всего связаны со знаками синуса и косинуса, отрицательными углами и путаницей между градусами и радианами. Разберём, как устроена единичная окружность, как поворачивается точка вокруг начала координат и как применять это в вычислениях.
Радианная мера угла и единичная окружность
В тригонометрии углы измеряют в градусах и радианах. Градусы удобны в геометрии, а радианы чаще используются при работе с тригонометрическими функциями и их графиками в алгебре.
Радианная мера угла
Один радиан — это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности.
Радианная мера угла равна отношению длины дуги окружности к радиусу этой окружности:
$\alpha = \frac{l}{R},$
где $l$ — длина дуги, $R$ — радиус окружности.
Длина всей окружности радиуса $R$ равна $2\pi R$. Значит, полный оборот имеет радианную меру:
$\frac{2\pi R}{R} = 2\pi.$
Отсюда получаем основные соответствия:
- полный оборот — $2\pi$ радиан, или $360^\circ$;
- развёрнутый угол — $\pi$ радиан, или $180^\circ$;
- прямой угол — $\frac{\pi}{2}$ радиан, или $90^\circ$.
Чтобы перевести градусы в радианы, используют формулу:
$\alpha_{\text{рад}} = \frac{\alpha^\circ \cdot \pi}{180^\circ}.$
Чтобы перевести радианы в градусы, используют обратную формулу:
$\alpha^\circ = \frac{\alpha_{\text{рад}} \cdot 180^\circ}{\pi}.$
Единичная окружность
Единичная окружность — это окружность с центром в точке начала координат и радиусом, равным $1$.
Начальная точка на единичной окружности имеет координаты $(1; 0)$ и лежит на положительной полуоси $Ox$.
Направления обхода такие:
- положительное направление — против часовой стрелки;
- отрицательное направление — по часовой стрелке.
Именно с этой окружностью связаны значения синуса и косинуса. Если точка после поворота имеет координаты $(x; y)$, то:
$x = \cos \alpha,\quad y = \sin \alpha.$
Поворот точки вокруг начала координат
Пусть начальная точка $P_0$ имеет координаты $(1; 0)$. Каждому действительному числу $\alpha$ соответствует точка $P$ на единичной окружности. Эта точка получается поворотом $P_0$ на угол $\alpha$ радиан.
Если $\alpha > 0$, поворот будет против часовой стрелки. Если $\alpha < 0$ — по часовой стрелке.
Как найти точку по заданному углу
Длина единичной окружности равна $2\pi$. Поэтому если прибавить к углу $2\pi$, точка совершит полный оборот и вернётся туда же.
Углы $\alpha$ и $\alpha + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число, соответствуют одной и той же точке на единичной окружности.
Чтобы найти положение точки по углу, нужно:
- Выделить из угла целое количество полных оборотов $2\pi k$.
- Отбросить эти полные обороты.
- Отложить оставшийся угол от точки $(1; 0)$ в нужном направлении.
- Определить координатную четверть или ось, на которую попала точка.
Знаки синуса и косинуса зависят от четверти:
Граничные точки соответствуют углам $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$. Они лежат на координатных осях и не относятся ни к одной четверти.
Для таких точек значения синуса и косинуса определяются по координатам:
- $\alpha = 0$: точка $(1; 0)$, значит, $\cos 0 = 1, \, \sin 0 = 0$;
- $\alpha = \frac{\pi}{2}$: точка $(0; 1)$, значит, $\cos \frac{\pi}{2} = 0, \, \sin \frac{\pi}{2} = 1$;
- $\alpha = \pi$: точка $(-1; 0)$, значит, $\cos \pi =-1, \, \sin \pi = 0$;
- $\alpha = \frac{3\pi}{2}$: точка $(0;-1)$, значит, $\cos \frac{3\pi}{2} = 0, \, \sin \frac{3\pi}{2} =-1$.
Алгоритм решения заданий
Если нужно определить значение тригонометрического выражения, удобно действовать по шагам.
- Убери лишние полные обороты, если угол больше $2\pi$ или меньше $-2\pi$.
- Определи направление движения: плюс означает движение против часовой стрелки, минус — по часовой стрелке.
- Найди, куда попадёт точка после поворота от $(1; 0)$.
- Определи четверть или координатную ось.
- Поставь знак синуса или косинуса.
- Подставь известное значение и выполни вычисления.
Примеры решения заданий
Разберём два типовых примера в формате задания 7 ЕГЭ по математике.
Пример № 1
Найти значение выражения:
$20\sqrt{2} \cdot \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) \cdot \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right).$
Решение
Рассмотрим первый множитель:
$\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right).$
Угол отрицательный, значит, поворот будет по часовой стрелке. Точка попадает в четвёртую четверть, где косинус положителен. Поэтому:
$\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt 2}{2}.$
Теперь рассмотрим второй множитель:
$\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right).$
Поворот снова идёт по часовой стрелке, точка попадает в четвёртую четверть. В четвёртой четверти синус отрицателен, значит:
$\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) =-\sin\frac{\pi}{6} =-\frac{1}{2}.$
Подставим найденные значения и выполним умножение:
$20\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt 2}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) =-\frac{20\sqrt{2} \cdot \sqrt 2}{4} =-5 \cdot 2 =-10.$
Ответ: $-10$.
Пример № 2
Вычислить значение выражения:
$2 \sqrt 3 \cos^2 \dfrac{13\pi}{12}-\sqrt 3.$
Решение
Вынесем общий множитель за скобки:
$2 \sqrt 3 \cos^2 \dfrac{13\pi}{12}-\sqrt 3 = \sqrt 3 \left(2\cos^2 \dfrac{13\pi}{12}-1 \right).$
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла ($\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha-1$):
$\sqrt 3 \left(2\cos^2 \dfrac{13\pi}{12}-1 \right) = \sqrt 3 \cos \left( 2\cdot \dfrac{13\pi}{12} \right) = \sqrt 3 \cos \dfrac{13\pi}{6}.$
Представим аргумент косинуса в виде суммы так, чтобы можно было убрать лишние обороты $2\pi$:
$\sqrt 3 \cos \dfrac{13\pi}{6} = \sqrt 3 \cos \left( \dfrac{12\pi + \pi}{6}\right) = \sqrt 3 \cos \left(2\pi + \dfrac{\pi}{6}\right).$
Воспользуемся тем, что $\cos (\alpha + 2\pi) = \cos \alpha$:
$\sqrt 3 \cos \left(2\pi + \dfrac{\pi}{6}\right) = \sqrt 3 \cos \dfrac{\pi}{6}.$
Найдём значение выражения:
$\sqrt 3 \cos \dfrac{\pi}{6} = \sqrt 3 \cdot \dfrac{\sqrt 3}{2} = \dfrac{3}{2} = 1,5.$
Ответ: $1,5$.
Типичные ошибки
При решении заданий по этой теме чаще всего возникают следующие ошибки:
- Путаница между градусами и радианами. Если в аргументе функции нет символа градуса, угол записан в радианах.
- Потеря знака при отрицательном угле. Минус перед углом меняет направление поворота. Например, $\sin(-x)=-\sin x$ и $\cos(-x) = \cos x$. Если забыть про направление движения, легко поставить неверный знак.
- Ошибки на координатных осях. Если точка попала на ось, она не находится в четверти. В этом случае нужно смотреть на координаты точки. Например, при угле $\frac{\pi}{2}$ точка имеет координаты $(0; 1)$. Поэтому $\cos \frac{\pi}{2} = 0$ и $\sin \frac{\pi}{2} = 1$.
Проверь себя
Реши задания для закрепления знаний.
Задание № 1
Переведи угол $45^\circ$ в радианы.
Используем формулу перевода:
$\alpha_{\text{рад}} = \frac{\alpha^\circ \cdot \pi}{180^\circ} = \frac{45 \cdot \pi}{180} = \frac{\pi}{4}.$
Ответ: $\frac{\pi}{4}$ радиан.
Задание № 2
В какой координатной четверти окажется точка при повороте на $120^\circ$?
Угол $120^\circ$ больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Значит, точка окажется во второй четверти.
Ответ: вторая четверть.
Задание № 3
Какой знак имеет выражение $\sin \frac{17\pi}{16}$?
Так как $\pi < \frac{17\pi}{16} < \frac{3\pi}{2}$, этот угол располагается в третьей четверти. В третьей четверти синус отрицателен.
Ответ: минус.
Заключение
Теперь ты умеешь переводить углы из градусов в радианы, находить положение точки на единичной окружности и определять знаки тригонометрических функций. Эти навыки помогают решать задания ЕГЭ, где нужно быстро вычислять значения синусов, косинусов и выражений с ними. Чтобы закрепить тему, реши несколько похожих заданий в «100балльном банке».
