Радианная мера угла и поворот точки вокруг начала координат в заданиях ЕГЭ по математике

В тригонометрии углы измеряют в градусах и радианах. Градусы удобны в геометрии, а радианы чаще используются при работе с тригонометрическими функциями и их графиками в алгебре.

Радианная мера угла

Длина всей окружности радиуса $R$ равна $2\pi R$. Значит, полный оборот имеет радианную меру:

Отсюда получаем основные соответствия:

• полный оборот — $2\pi$ радиан, или $360^\circ$;
• развёрнутый угол — $\pi$ радиан, или $180^\circ$;
• прямой угол — $\frac{\pi}{2}$ радиан, или $90^\circ$.

Единичная окружность

Начальная точка на единичной окружности имеет координаты $(1; 0)$ и лежит на положительной полуоси $Ox$.

Направления обхода такие:

• положительное направление — против часовой стрелки;
• отрицательное направление — по часовой стрелке.

Именно с этой окружностью связаны значения синуса и косинуса. Если точка после поворота имеет координаты $(x; y)$, то:

$x = \cos \alpha,\quad y = \sin \alpha.$

Пусть начальная точка $P_0$ имеет координаты $(1; 0)$. Каждому действительному числу $\alpha$ соответствует точка $P$ на единичной окружности. Эта точка получается поворотом $P_0$ на угол $\alpha$ радиан.

Если $\alpha > 0$, поворот будет против часовой стрелки. Если $\alpha < 0$ — по часовой стрелке.

Как найти точку по заданному углу

Длина единичной окружности равна $2\pi$. Поэтому если прибавить к углу $2\pi$, точка совершит полный оборот и вернётся туда же.

Углы $\alpha$ и $\alpha + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число, соответствуют одной и той же точке на единичной окружности.

Чтобы найти положение точки по углу, нужно:

1. Выделить из угла целое количество полных оборотов $2\pi k$.
2. Отбросить эти полные обороты.
3. Отложить оставшийся угол от точки $(1; 0)$ в нужном направлении.
4. Определить координатную четверть или ось, на которую попала точка.

Знаки синуса и косинуса зависят от четверти:

Граничные точки соответствуют углам $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$. Они лежат на координатных осях и не относятся ни к одной четверти.

Для таких точек значения синуса и косинуса определяются по координатам:

• $\alpha = 0$: точка $(1; 0)$, значит, $\cos 0 = 1, \, \sin 0 = 0$;
• $\alpha = \frac{\pi}{2}$: точка $(0; 1)$, значит, $\cos \frac{\pi}{2} = 0, \, \sin \frac{\pi}{2} = 1$;
• $\alpha = \pi$: точка $(-1; 0)$, значит, $\cos \pi =-1, \, \sin \pi = 0$;
• $\alpha = \frac{3\pi}{2}$: точка $(0;-1)$, значит, $\cos \frac{3\pi}{2} = 0, \, \sin \frac{3\pi}{2} =-1$.

Если нужно определить значение тригонометрического выражения, удобно действовать по шагам.

1. Убери лишние полные обороты, если угол больше $2\pi$ или меньше $-2\pi$.
2. Определи направление движения: плюс означает движение против часовой стрелки, минус — по часовой стрелке.
3. Найди, куда попадёт точка после поворота от $(1; 0)$.
4. Определи четверть или координатную ось.
5. Поставь знак синуса или косинуса.
6. Подставь известное значение и выполни вычисления.

Разберём два типовых примера в формате задания 7 ЕГЭ по математике.

Пример № 1

Найти значение выражения:

Решение

Рассмотрим первый множитель:

Угол отрицательный, значит, поворот будет по часовой стрелке. Точка попадает в четвёртую четверть, где косинус положителен. Поэтому:

Теперь рассмотрим второй множитель:

Поворот снова идёт по часовой стрелке, точка попадает в четвёртую четверть. В четвёртой четверти синус отрицателен, значит:

Подставим найденные значения и выполним умножение:

Ответ: $-10$.

Пример № 2

Вычислить значение выражения:

$2 \sqrt 3 \cos^2 \dfrac{13\pi}{12}-\sqrt 3.$

Решение

Вынесем общий множитель за скобки:

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла ($\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha-1$):

Представим аргумент косинуса в виде суммы так, чтобы можно было убрать лишние обороты $2\pi$:

Воспользуемся тем, что $\cos (\alpha + 2\pi) = \cos \alpha$:

Найдём значение выражения:

Ответ: $1,5$.

При решении заданий по этой теме чаще всего возникают следующие ошибки:

• Путаница между градусами и радианами. Если в аргументе функции нет символа градуса, угол записан в радианах.
• Потеря знака при отрицательном угле. Минус перед углом меняет направление поворота. Например, $\sin(-x)=-\sin x$ и $\cos(-x) = \cos x$. Если забыть про направление движения, легко поставить неверный знак.
• Ошибки на координатных осях. Если точка попала на ось, она не находится в четверти. В этом случае нужно смотреть на координаты точки. Например, при угле $\frac{\pi}{2}$ точка имеет координаты $(0; 1)$. Поэтому $\cos \frac{\pi}{2} = 0$ и $\sin \frac{\pi}{2} = 1$.

Реши задания для закрепления знаний.

Задание № 1

Переведи угол $45^\circ$ в радианы.

Задание № 2

В какой координатной четверти окажется точка при повороте на $120^\circ$?

Задание № 3

Какой знак имеет выражение $\sin \frac{17\pi}{16}$?

Теперь ты умеешь переводить углы из градусов в радианы, находить положение точки на единичной окружности и определять знаки тригонометрических функций. Эти навыки помогают решать задания ЕГЭ, где нужно быстро вычислять значения синусов, косинусов и выражений с ними. Чтобы закрепить тему, реши несколько похожих заданий в «100балльном банке».