Задание 16 профильного ЕГЭ по математике: как решать экономические задачи на неравномерное уменьшение долга

Когда долг убывает по таблице или списку, банк заранее задаёт, сколько клиент должен банку на определённую дату. Эти числа показывают остатки долга.

Любая выплата банку за период состоит из двух частей:

• проценты, которые начислил банк за период;
• часть основного долга, которую нужно погасить.

Пусть $S_{old}$ — долг на начало периода, а $S_{new}$ — долг, который должен остаться после платежа. Процентная ставка банка равна $r$.

Сначала банк начисляет проценты, поэтому долг временно становится равным: $S_{old} \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right)$.

Для удобства выражение в скобках обозначают буквой $k$: $k = 1 + \frac{r}{100}$.

Тогда долг после начисления процентов равен: $S_{old} \cdot k$.

Платёж — это разность между долгом после начисления процентов и остатком, который должен получиться по условию: $V = S_{old} \cdot k-S_{new}$.

Чтобы не запутаться в экономической задаче, действуй по порядку.

1. Выпиши все остатки долга в одну строку. Первое число — начальная сумма кредита, последнее число — ноль.
2. Начисли проценты на каждый остаток, кроме нуля. Для этого умножь долг на коэффициент $k = 1 + \frac{r}{100}$.
3. Составь выплаты. Из долга после начисления процентов вычитай остаток, который должен получиться после платежа.
4. Ответь на вопрос задачи. Иногда нужно найти общую сумму выплат, иногда — наибольший платёж, ставку процента или исходную сумму кредита.

Разберём три основных прототипа таких задач.

Поиск общей суммы выплат

Условие

В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 800 тысяч рублей. Каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года. С февраля по июнь каждого года нужно выплатить часть долга. В июле 2027 года долг должен быть равен 500 тысяч рублей. В июле 2028 года долг должен быть равен 300 тысяч рублей. В июле 2029 года долг должен быть выплачен полностью. Подсчитайте общую сумму выплат за три года.

Решение

Шаг 1. Выписываем остатки долга. Все суммы удобно считать в тысячах рублей: $800;\, 500;\, 300;\, 0$.

Шаг 2. Начисляем проценты. Ставка равна 20%, значит: $k = 1 + \frac{20}{100} = 1{,}2$.

Долг после начисления процентов:

• в 2027 году: $800 \cdot 1{,}2 = 960$;
• в 2028 году: $500 \cdot 1{,}2 = 600$;
• в 2029 году: $300 \cdot 1{,}2 = 360$.

Шаг 3. Находим выплаты.

Первая выплата: $960-500 = 460$.

Вторая выплата: $600-300 = 300$.

Третья выплата: $360-0 = 360$.

Шаг 4. Складываем выплаты. $460 + 300 + 360 = 1120$.

Ответ: 1120 тысяч рублей.

Поиск неизвестной ставки через неравенство

Условие

Пятнадцатого января планируется взять кредит в размере 1 миллиона рублей на шесть месяцев. Первого числа каждого месяца долг возрастает на целое число $r$ процентов. Со второго по четырнадцатое число вносится платёж. Пятнадцатого числа каждого месяца долг должен соответствовать числам: 1; 0,6; 0,4; 0,3; 0,2; 0,1; 0. Найдите наибольшее значение $r$, при котором общая сумма выплат будет строго меньше 1,2 миллиона рублей.

Решение

Шаг 1. Выписываем остатки долга. Работаем в миллионах рублей: $1;\, 0{,}6;\, 0{,}4;\, 0{,}3;\, 0{,}2;\, 0{,}1;\, 0$.

Шаг 2. Вводим коэффициент начисления процентов $k = 1 + \frac{r}{100}$.

После начисления процентов получаем: $1k;\, 0{,}6k;\, 0{,}4k;\, 0{,}3k;\, 0{,}2k;\, 0{,}1k$.

Шаг 3. Составляем сумму выплат. Каждый платёж равен долгу после начисления процентов минус новый остаток:

$(k-0{,}6) + (0{,}6k-0{,}4) + (0{,}4k-0{,}3) + (0{,}3k-0{,}2) + (0{,}2k-0{,}1) + (0{,}1k-0)$.

Соберём слагаемые с $k$ отдельно:

$k + 0{,}6k + 0{,}4k + 0{,}3k + 0{,}2k + 0{,}1k = 2{,}6k$.

Свободные слагаемые:

$-0{,}6-0{,}4-0{,}3-0{,}2-0{,}1 =-1{,}6$.

Значит, общая сумма выплат равна:

$2{,}6k-1{,}6$.

Шаг 4. Используем ограничение из условия. По условию сумма выплат должна быть строго меньше 1,2 миллиона рублей:

$2{,}6k-1{,}6 < 1{,}2$.

Решаем неравенство:

$2{,}6k < 2{,}8$,

$k < \frac{28}{26}$,

$k < \frac{14}{13}$.

Возвращаемся к $r$:

$1 + \frac{r}{100} < \frac{14}{13}$,

$\frac{r}{100} < \frac{1}{13}$,

$r < \frac{100}{13}$.

Так как $\frac{100}{13} = 7\frac{9}{13}$, а $r$ по условию — целое число, наибольшее подходящее значение равно 7%.

Ответ: 7%.

Поиск исходной суммы при заданной общей выплате

Условие

Клиент взял кредит на три года под 10% годовых. Известно, что в первый год остаток долга должен составить половину исходной суммы. Во второй год остаток долга равняется одной четвёртой от исходной суммы кредита. В конце третьего года долг погашается. Общая сумма всех выплат составила 1440 тысяч рублей. Нужно найти изначальный размер кредита.

Решение

Шаг 1. Обозначаем исходную сумму. Пусть сумма кредита равна $S$ тысяч рублей.

Тогда ряд остатков долга выглядит так: $S;\, 0{,}5S;\, 0{,}25S;\, 0$.

Шаг 2. Начисляем проценты. Ставка равна 10%, значит: $k = 1{,}1$.

Долг после начисления процентов:

• перед первой выплатой: $1{,}1S$;
• перед второй выплатой: $0{,}5S \cdot 1{,}1 = 0{,}55S$;
• перед третьей выплатой: $0{,}25S \cdot 1{,}1 = 0{,}275S$.

Шаг 3. Записываем выплаты.

Первая выплата: $1{,}1S-0{,}5S = 0{,}6S$.

Вторая выплата: $0{,}55S-0{,}25S = 0{,}3S$.

Третья выплата: $0{,}275S-0 = 0{,}275S$.

Шаг 4. Складываем выплаты и составляем уравнение.

$0{,}6S + 0{,}3S + 0{,}275S = 1{,}175S$.

По условию общая сумма выплат равна 1440 тысяч рублей:

$1{,}175S = 1440$.

Запишем десятичную дробь как обыкновенную:

$\frac{1175}{1000}S = 1440$,

$\frac{47}{40}S = 1440$.

Находим $S$:

$S = \frac{1440 \cdot 40}{47}$.

В этом тренировочном примере ответ получается нецелым:

$S \approx 1225{,}5$.

Ответ: примерно 1225,5 тысячи рублей.

В таких задачах чаще всего теряют баллы из-за неверной модели. Проверь, не допускаешь ли ты эти ошибки.

Путать остаток долга и платёж

Числа в таблице или списке — это остатки долга, а не суммы, которые клиент внёс в банк.

Неверный ход: сразу складывать числа из условия как платежи.

Верный ход: каждый платёж вычислять по формуле: $V = S_{old} \cdot k-S_{new}$.

Неправильно работать с процентами

Процент нельзя просто прибавить к сумме как число.

Неверная запись: $S + r$.

Верная запись: $S \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right)$.

Если ставка равна 20%, долг умножается на $1{,}2$, а если ставка равна 5%, долг умножается на $1{,}05$.

Ошибаться со знаком неравенства

Формулировки в условии нужно читать буквально.

Если сказано «менее 2 миллионов», ставим строгое неравенство: $< 2$.

Если сказано «не более 2 миллионов», ставим нестрогое неравенство: $\leqslant 2$.

Пытаться решить всё одной формулой в уме

В задачах с неравномерным уменьшением долга безопаснее расписать каждый платёж отдельно. Так проще проверить вычисления и показать эксперту понятную математическую модель.

Реши задания самостоятельно, а затем сравни с ответами.

Задание на выплату за один год

Кредит взят на три года. Каждый год он возрастает на 10%. Остатки долга составляют: 1000, 600, 200, 0. Найдите выплату во второй год.

Задание на формулу последнего платежа

Ряд остатков долга выглядит так: $S;\, 0{,}8S;\, 0{,}3S;\, 0$. Коэффициент банка равен $k$. Составьте формулу для последнего платежа.

Задание для комплексной тренировки

Банк выдал 600 тысяч рублей на срок три месяца под ставку $r$ процентов в месяц. Долг должен убывать так: 600, 400, 150, 0. Найдите точную общую сумму выплат, если $r = 5$.

В задачах на неравномерное уменьшение долга главное — правильно отличать остаток долга от платежа. Остаток берётся из условия, а платёж каждый раз считается как долг после начисления процентов минус новый остаток. Если ставка неизвестна, удобно вводить коэффициент $k = 1 + \frac{r}{100}$ и уже через него составлять уравнение или неравенство. Чтобы закрепить алгоритм, реши несколько похожих экономических задач в «100балльном банке» и каждый раз выписывай цепочку остатков перед вычислениями.