Поиск параметра по принадлежности точки графику и касанию графиков в ЕГЭ по математике

Если кривая задана уравнением $F(x,y,a)=0$ и проходит через точку $M(x_0;y_0)$, координаты этой точки удовлетворяют уравнению. Значит, для поиска параметра нужно подставить $x_0$ вместо $x$ и $y_0$ вместо $y$. После этого получится обычное уравнение относительно параметра $a$.

Пример

Пусть график функции $y=a{x}^2+3x-1$ проходит через точку $M(2; 9)$. Подставим координаты точки:

$9=a·2^2+3·2-1$.

Получим:

$9=4a+6-1$,

$9=4a+5$,

$4a=4$,

$a=1$.

Ответ: $1$.

В задачах ЕГЭ условие касания чаще всего записывают одним из трёх способов:

• через дискриминант;
• через расстояние от центра окружности до прямой;
• через равенство производных.

Выбор способа зависит от того, какие графики даны в условии.

Если пересекаются прямая и парабола, удобно использовать дискриминант. Пусть даны:

$y=kx+b$,

$y=a{x}^2+cx+d$.

Чтобы найти точки пересечения, приравниваем правые части:

$a{x}^2+cx+d=kx+b$.

После переноса всех слагаемых в одну сторону получается квадратное уравнение. Если прямая касается параболы, точка пересечения одна. Для квадратного уравнения это означает:

$D=0$.

Окружность вида $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=R^2$ имеет центр $(x_0;y_0)$ и радиус $R$.

Прямая $Ax+By+C=0$ касается окружности, если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу: $d=R$.

Расстояние от точки $(x_0;y_0)$ до прямой $Ax+By+C=0$ вычисляется по формуле:

$d={\displaystyle \frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}}$.

Если функции сложнее и не сводятся к квадратному уравнению, используют производную. Графики $y=f(x)$ и $y=g(x)$ касаются в точке, если в этой точке равны значения функций и значения их производных:

Первое уравнение означает, что графики имеют общую точку. Второе показывает, что в этой точке у них одинаковое направление касательной.

Чтобы не запутаться в параметре, действуй по шагам.

1. Запиши уравнения всех фигур или функций из условия.
2. Если дана конкретная точка, подставь её координаты в уравнение.
3. Если требуется касание, выбери подходящий метод, обычно используют:
   • для прямой и параболы — дискриминант;
   • для прямой и окружности — расстояние от центра до прямой;
   • для сложных функций — производную.
4. Составь уравнение условия касания: $D=0$, $d=R$ или систему с производными.
5. Реши уравнение относительно параметра.
6. Проверь найденные значения: область допустимых значений, модуль радиуса, количество точек пересечения.

Прямая $y=4x+6$ является касательной к графику функции $y=2x^2+16x+c$. Найдите $c$.ege.fipi.ru[i]

Решение

Шаг 1. Так как прямая касается параболы, в точке касания значения их функций равны. Приравняем правые части:

$2x^2+16x+c=4x+6$.

Перенесём все слагаемые влево:

$2x^2+12x+(c-6)=0$.

Шаг 2. Касание означает, что у этого квадратного уравнения один корень. Значит, дискриминант равен нулю:

$D={12}^2-4·2·(c-6)$,

$D=144-8(c-6)$.

Приравняем к нулю:

$144-8c+48=0$,

$192-8c=0$,

$8c=192$,

$c=24$.

Ответ: $24$.

Найдите все значения $a$, при которых система неравенств имеет ровно одно решение: $\{\begin{array}{c}y\ge x^2-ax+2,\hfill \\ y\le x+a.\hfill \end{array}$ ege.fipi.ru[i]

Решение

Шаг 1. Первое неравенство задаёт область над параболой $y=x^2-ax+2$, включая границу. Второе неравенство задаёт область под прямой $y=x+a$.

Шаг 2. Чтобы система имела ровно одно решение, эти области должны пересекаться только в одной точке. Это возможно, если прямая касается параболы.

Шаг 3. Приравняем правые части:

$x^2-ax+2=x+a$.

Перенесём всё в одну сторону:

$x^2-ax-x+2-a=0$,

$x^2-x(a+1)+(2-a)=0$.

Шаг 4. Условие касания:

$D=0$.

Вычислим дискриминант:

$D=(a+1{)}^2-4(2-a)$,

$D=a^2+2a+1-8+4a$,

$D=a^2+6a-7$.

Получаем уравнение:

$a^2+6a-7=0$.

Разложим на множители:

$(a-1)(a+7)=0$.

Отсюда:

$a=1$ или $a=-7$.

Ответ: $-7; 1$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения: $\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2=a^2,\hfill \\ y=x+a.\hfill \end{array}$ ege.fipi.ru[i]

Решение

Шаг 1. Первое уравнение задаёт окружность с центром в точке $(0; 0)$. Её радиус равен $|a|$, потому что $R=\sqrt{a^2}=|a|$.

Шаг 2. Второе уравнение задаёт прямую. Система имеет два решения, если прямая пересекает окружность в двух точках. Для этого расстояние от центра окружности до прямой должно быть строго меньше радиуса:

$d<R$.

Приведём уравнение прямой к общему виду:

$y=x+a$,

$x-y+a=0$.

Шаг 3. Найдём расстояние от центра окружности $(0; 0)$ до этой прямой:

$d={\displaystyle \frac{|1·0-1·0+a|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}}$,

$d={\displaystyle \frac{|a|}{\sqrt{2}}}$.

Шаг 4. Радиус окружности равен $|a|$. Запишем условие двух точек пересечения:

${\displaystyle \frac{|a|}{\sqrt{2}}}<|a|$.

Шаг 5. Если $a\ne 0$, неравенство выполняется, потому что ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}<1$.

Шаг 6. Проверим случай $a=0$. Тогда окружность стягивается в точку $(0; 0)$, а прямая имеет вид $y=x$. Она проходит через эту точку, поэтому система имеет одно решение. Значит, $a=0$ не подходит.

Ответ: $a\in (-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$.

Забывают модуль в радиусе

Ошибка: считать, что радиус окружности $x^2+y^2=a^2$ равен $a$.

Как правильно: радиус равен $|a|$, потому что $\sqrt{a^2}=|a|$. Если потерять модуль, можно ошибочно исключить отрицательные значения параметра.

Используют дискриминант без проверки области допустимых значений

Метод дискриминанта подходит, когда уравнение пересечения сводится к квадратному уравнению. Если в задаче есть корни, дроби или логарифмы, нужно отдельно проверить область допустимых значений. Точка касания должна лежать в разрешённой области.

Путают касание и пересечение в двух точках

Для касания: $D=0$ или $d=R$.

Для пересечения в двух точках: $D>0$ или $d<R$.

Для отсутствия общих точек: $D<0$ или $d>R$.

Знак в финальном условии зависит от того, сколько решений требуется в задаче.

Вопрос 1

Что нужно сделать, если по условию графики $y=x^2+ax$ и $y=3x-1$ касаются друг друга?

Вопрос 2

Как найти радиус окружности, заданной уравнением $x^2+y^2=16a^2$?

Вопрос 3

При каком положительном значении $a$ прямая $x=5$ касается окружности $(x-1{)}^2+y^2=a^2$?

Теперь ты умеешь переводить условия о графиках на язык уравнений. Если точка принадлежит графику, нужно подставить её координаты. Если прямая касается параболы, удобно использовать условие $D=0$. Если речь идёт о прямой и окружности, помогает формула расстояния от точки до прямой. В задачах с окружностями не забывай про модуль: радиус из уравнения $x^2+y^2=a^2$ равен $|a|$. Чтобы закрепить тему, реши несколько задач с параметром в «100балльном банке».