В профильном ЕГЭ по математике задачи с параметром часто сводятся к двум идеям: точка лежит на графике или два графика касаются. Чтобы решить такую задачу, нужно перевести условие на язык уравнений. В статье разберём, как записывать принадлежность точки графику, как находить касание разными способами и как проверять ответ.
Принадлежность точки графику
Если кривая задана уравнением $F(x, y, a) = 0$ и проходит через точку $M(x_0; y_0)$, координаты этой точки удовлетворяют уравнению. Значит, для поиска параметра нужно подставить $x_0$ вместо $x$ и $y_0$ вместо $y$. После этого получится обычное уравнение относительно параметра $a$.
Пример
Пусть график функции $y = ax^2 + 3x-1$ проходит через точку $M(2; 9)$. Подставим координаты точки:
$9 = a \cdot 2^2 + 3 \cdot 2-1$.
Получим:
$9 = 4a + 6-1$,
$9 = 4a + 5$,
$4a = 4$,
$a = 1$.
Ответ: $1$.
Что означает касание графиков
Касание означает, что две линии имеют одну общую точку в рассматриваемой области и в этой точке проходят с одинаковым направлением.
В задачах ЕГЭ условие касания чаще всего записывают одним из трёх способов:
- через дискриминант;
- через расстояние от центра окружности до прямой;
- через равенство производных.
Выбор способа зависит от того, какие графики даны в условии.
Касание через дискриминант
Если пересекаются прямая и парабола, удобно использовать дискриминант. Пусть даны:
$y = kx + b$,
$y = ax^2 + cx + d$.
Чтобы найти точки пересечения, приравниваем правые части:
$ax^2 + cx + d = kx + b$.
После переноса всех слагаемых в одну сторону получается квадратное уравнение. Если прямая касается параболы, точка пересечения одна. Для квадратного уравнения это означает:
$D = 0$.
Касание прямой и окружности
Окружность вида $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2$ имеет центр $(x_0; y_0)$ и радиус $R$.
Прямая $Ax + By + C = 0$ касается окружности, если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу: $d = R$.
Расстояние от точки $(x_0; y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ вычисляется по формуле:
$d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.
Касание через производную
Если функции сложнее и не сводятся к квадратному уравнению, используют производную. Графики $y = f(x)$ и $y = g(x)$ касаются в точке, если в этой точке равны значения функций и значения их производных:
$\begin{cases} f(x) = g(x), \\ f'(x) = g'(x). \end{cases}$
Первое уравнение означает, что графики имеют общую точку. Второе показывает, что в этой точке у них одинаковое направление касательной.
Алгоритм решения задач
Чтобы не запутаться в параметре, действуй по шагам.
- Запиши уравнения всех фигур или функций из условия.
- Если дана конкретная точка, подставь её координаты в уравнение.
- Если требуется касание, выбери подходящий метод, обычно используют:
- для прямой и параболы — дискриминант;
- для прямой и окружности — расстояние от центра до прямой;
- для сложных функций — производную.
- Составь уравнение условия касания: $D = 0$, $d = R$ или систему с производными.
- Реши уравнение относительно параметра.
- Проверь найденные значения: область допустимых значений, модуль радиуса, количество точек пересечения.
Пример с дискриминантом
Прямая $y = 4x + 6$ является касательной к графику функции $y = 2x^2 + 16x + c$. Найдите $c$.
Решение
Шаг 1. Так как прямая касается параболы, в точке касания значения их функций равны. Приравняем правые части:
$2x^2 + 16x + c = 4x + 6$.
Перенесём все слагаемые влево:
$2x^2 + 12x + (c-6) = 0$.
Шаг 2. Касание означает, что у этого квадратного уравнения один корень. Значит, дискриминант равен нулю:
$D = 12^2-4 \cdot 2 \cdot (c-6)$,
$D = 144-8(c-6)$.
Приравняем к нулю:
$144-8c + 48 = 0$,
$192-8c = 0$,
$8c = 192$,
$c = 24$.
Ответ: $24$.
Пример с системой неравенств
Найдите все значения $a$, при которых система неравенств имеет ровно одно решение: $\begin{cases} y \ge x^2-ax + 2, \\ y \le x + a. \end{cases}$
Решение
Шаг 1. Первое неравенство задаёт область над параболой $y = x^2-ax + 2$, включая границу. Второе неравенство задаёт область под прямой $y = x + a$.
Шаг 2. Чтобы система имела ровно одно решение, эти области должны пересекаться только в одной точке. Это возможно, если прямая касается параболы.
Шаг 3. Приравняем правые части:
$x^2-ax + 2 = x + a$.
Перенесём всё в одну сторону:
$x^2-ax-x + 2-a = 0$,
$x^2-x(a + 1) + (2-a) = 0$.
Шаг 4. Условие касания:
$D = 0$.
Вычислим дискриминант:
$D = (a + 1)^2-4(2-a)$,
$D = a^2 + 2a + 1-8 + 4a$,
$D = a^2 + 6a-7$.
Получаем уравнение:
$a^2 + 6a-7 = 0$.
Разложим на множители:
$(a-1)(a + 7) = 0$.
Отсюда:
$a = 1$ или $a =-7$.
Ответ: $-7; 1$.
Пример в формате задания 18 профильного ЕГЭ
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения: $\begin{cases} x^2 + y^2 = a^2, \\ y = x + a. \end{cases}$
Решение
Шаг 1. Первое уравнение задаёт окружность с центром в точке $(0; 0)$. Её радиус равен $|a|$, потому что $R = \sqrt{a^2} = |a|$.
Шаг 2. Второе уравнение задаёт прямую. Система имеет два решения, если прямая пересекает окружность в двух точках. Для этого расстояние от центра окружности до прямой должно быть строго меньше радиуса:
$d < R$.
Приведём уравнение прямой к общему виду:
$y = x + a$,
$x-y + a = 0$.
Шаг 3. Найдём расстояние от центра окружности $(0; 0)$ до этой прямой:
$d = \dfrac{|1 \cdot 0-1 \cdot 0 + a|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}$,
$d = \dfrac{|a|}{\sqrt{2}}$.
Шаг 4. Радиус окружности равен $|a|$. Запишем условие двух точек пересечения:
$\dfrac{|a|}{\sqrt{2}} < |a|$.
Шаг 5. Если $a \ne 0$, неравенство выполняется, потому что $\dfrac{1}{\sqrt{2}} < 1$.
Шаг 6. Проверим случай $a = 0$. Тогда окружность стягивается в точку $(0; 0)$, а прямая имеет вид $y = x$. Она проходит через эту точку, поэтому система имеет одно решение. Значит, $a = 0$ не подходит.
Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Типичные ошибки
Забывают модуль в радиусе
Ошибка: считать, что радиус окружности $x^2 + y^2 = a^2$ равен $a$.
Как правильно: радиус равен $|a|$, потому что $\sqrt{a^2} = |a|$. Если потерять модуль, можно ошибочно исключить отрицательные значения параметра.
Используют дискриминант без проверки области допустимых значений
Метод дискриминанта подходит, когда уравнение пересечения сводится к квадратному уравнению. Если в задаче есть корни, дроби или логарифмы, нужно отдельно проверить область допустимых значений. Точка касания должна лежать в разрешённой области.
Путают касание и пересечение в двух точках
Для касания: $D = 0$ или $d = R$.
Для пересечения в двух точках: $D > 0$ или $d < R$.
Для отсутствия общих точек: $D < 0$ или $d > R$.
Знак в финальном условии зависит от того, сколько решений требуется в задаче.
Самопроверка
Вопрос 1
Что нужно сделать, если по условию графики $y = x^2 + ax$ и $y = 3x-1$ касаются друг друга?
Вопрос 2
Как найти радиус окружности, заданной уравнением $x^2 + y^2 = 16a^2$?
Ответ к вопросу 1 нужно приравнять правые части: $x^2 + ax = 3x-1$, затем привести уравнение к квадратному виду и приравнять дискриминант к нулю.
Ответ к вопросу 2 радиус равен $4|a|$, потому что $R = \sqrt{16a^2} = 4|a|$.
Вопрос 3
При каком положительном значении $a$ прямая $x = 5$ касается окружности $(x-1)^2 + y^2 = a^2$?
Шаг 1. Центр окружности — точка $(1; 0)$. Прямая $x = 5$ вертикальная, поэтому расстояние от центра до прямой равно разности абсцисс: $5-1 = 4$.
Шаг 2. Для касания радиус должен быть равен этому расстоянию. Так как $a > 0$, получаем: $a = 4$.
Рисунок к заданию
Ответ: $4$.
Заключение
Теперь ты умеешь переводить условия о графиках на язык уравнений. Если точка принадлежит графику, нужно подставить её координаты. Если прямая касается параболы, удобно использовать условие $D = 0$. Если речь идёт о прямой и окружности, помогает формула расстояния от точки до прямой. В задачах с окружностями не забывай про модуль: радиус из уравнения $x^2 + y^2 = a^2$ равен $|a|$. Чтобы закрепить тему, реши несколько задач с параметром в «100балльном банке».
