Все примеры выдуманы, а логарифмы существуют на своей области определения. Любые совпадения с реальностью специальны.

Когда «логично» — значит неправильно

«Ну почему так?» — задаёшься ты вопросом каждый раз, когда мозг подкидывает логичное, на первый взгляд, но абсолютно неверное свойство. Например, учитель спрашивает: «Чему равен квадрат суммы $(a + b)^{2}$ »? Ну логично же — сумме квадратов: $a^{2} + b^{2}$ . А вот и нет. Дальше идёт объяснение, доказательство, много примеров и контрпримеров, но всё равно многие продолжают раскрывать формулу неверно.

Та же история — со свойствами степеней. Они тянут за собой «логичные аналогии», которые потом ломают решения уже в показательных выражениях, а затем и в логарифмах.

Если ты тоже иногда путаешься — сейчас разложим всё по полочкам и разберём самые опасные места, в которых можно случайно ошибиться.

Логарифм суммы и разности, который не равен сумме и разности

Почему-то многие старшеклассники уверены, что $\log_{c} (a + b) = \log_{c} a + \log_{c} b$ . А потом искренне не понимают, почему решение задания заходит в тупик, а учителя обнуляют им баллы.

Записывай и запоминай: $\log_{c} (a \cdot b) = \log_{c} a + \log_{c} b$ .

Почему так? Суть логарифма — это показатель степени. Когда мы умножаем числа с одинаковым основанием, их показатели складываются: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ . Логарифм — это обратная операция, значит для него всё остается таким же.

А вот когда ты складываешь $a^{m} + a^{n}$ , никакого красивого показателя степени из этого не выйдет, потому что слагаемые неподобные. Нельзя просто так взять и приравнять это к $a^{m + n}$ .

Совет: проверка на числах

Если в голове начинается путаница — подставь конкретные числа.

Пусть $a = 2$ , $b = 3$ .

$\log_{3} (3 + 9) = \log_{3} 12 \neq \log_{3} 3 + \log_{3} 9 = \log_{3} (3 \cdot 9) = \log_{3} 27 = 3$

Очевидно, что $\log_{3} 12 \neq \log_{3} 27$ .

Если всё ещё сомневаешься, вычисли каждый логарифм отдельно и убедись: $\log_{3} 3 + \log_{3} 9 = 1 + 2 = 3$ . Подбирай числа так, чтобы тебе было комфортно и наглядно. Лучше потратить минуту на проверку формулы, чем потерять баллы.

Аналогично, формула для разности логарифмов: $\log_{c} (a - b) \neq \log_{c} a - \log_{c} b$ . Здесь уже применяется деление: $\log_{c} a - \log_{c} b = \log_{c} \frac{a}{b}$ .

Запомни: только умножение и деление преобразуются по формулам.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Про область определения

Логарифм — капризная штука. Он работает не с любыми числами. Чтобы логарифм $\log_{a} b$ существовал, нужно соблюсти три золотых правила:

Основание логарифма должно быть больше нуля: $a > 0$ .
Основание логарифма не должно быть равно единице: $a \neq 1$ .
Выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля: $b > 0$ .

А ещё есть такое понятие как равносильные преобразования. Простыми словами это значит, что каждая следующая строчка упрощения или преобразования в уравнении или неравенстве должна быть законной и не менять область определения. Равносильными называются уравнения и неравенства, которые имеют одинаковое множество решений.

Антипример 1

$\log_{2} (x^{2} - 4) < \log_{2} 3 x$

Антирешение

$\log_{2} (x^{2} - 4) - \log_{2} 3 x < 0$ (1)

По свойству логарифмов:

$\log_{2} \frac{x^{2} - 4}{3 x} < 0 (2) \Leftrightarrow \frac{x^{2} - 4}{3 x} < 1 \Leftrightarrow \frac{x^{2} - 3 x - 4}{3 x} < 0 \Leftrightarrow$

нули числителя: $x^{2} - 3 x - 4 = 0 \Rightarrow x_{1} = - 1; x_{2} = 4$

нули знаменателя: $3 x = 0 \Rightarrow x = 0$

$x \in (- \infty; - 1) \cup (0; 4)$

С учетом ОДЗ: $\frac{x^{2} - 4}{3 x} > 0 \Leftrightarrow x \in (- 2; 0) \cup (2; + \infty)$

Ответ: $x \in (- 2; - 1) \cup (2; 4)$ .

Что не так? Дело в том, что (1) и (2) — равносильные преобразования только на ОДЗ исходного неравенства. А оно $x^{2} - 4 > 0$ и $3 x > 0 \Leftrightarrow x \in (2; + \infty)$ .

Решение

$\log_{2} (x^{2} - 4) < \log_{2} 3 x$

ОДЗ: $x^{2} - 4 > 0$ и $3 x > 0 \Leftrightarrow x \in (2; + \infty)$

$\log_{2} (x^{2} - 4) - \log_{2} 3 x < 0$

$\log_{2} \frac{x^{2} - 4}{3 x} < 0$

$x \in (- \infty; - 1) \cup (0; 4)$

С учётом ОДЗ $x \in (2; + \infty) \Rightarrow x \in (2; 4)$ .

Чему нас учит этот пример?

Всегда записывай ОДЗ исходного выражения до начала преобразований. И после преобразований сравнивай. Если ОДЗ изменилась — ищи подвох. Чаще всего это происходит при применении свойств логарифмов произведения, частного и степени.

Логарифм чётной степени, или сказка о потерянном модуле

А сейчас будет очень грустная сказка о потерянном модуле.

Жил-был выпускник, и попалось ему однажды логарифмическое выражение, содержащее подлогарифмическое выражение в чётной степени. Он начал упрощать — всё по правилам — а в конце получил неправильный ответ. Почему? Потому что в процессе упрощения он нечаянно изменил область определения! Проще говоря — потерял модуль.

Классический пример — свойство логарифма степени: $\log_{a} b^{n} = n \log_{a} b$ . Кажется, что тут может быть не так? Коварная чётная степень.

Пусть изначальное выражение: $\log_{a} x^{2}$

ОДЗ: $x^{2} > 0$ . Это значит, что $x$ может быть любым числом, кроме нуля ( $x \neq 0$ ). Ведь $(- 2)^{2} = 4 > 0$ , $2^{2} = 4 > 0$ .

Преобразуем выражение по свойству: $2 \log_{a} x$

ОДЗ: $x > 0$ . А вот здесь уже $x$ может быть только положительным. Значения $x < 0$ (например, $x = - 2$ ) здесь уже недопустимы, потому что $\log_{a} (- 2)$ не существует.

Видишь? Преобразовав $\log_{a} x^{2}$ в $2 \log_{a} x$ , мы сузили область определения! А это значит, что какие-то корни или решения, которые были допустимы в исходном выражении, теперь теряются, а само преобразование перестаёт быть равносильным.

Но почему так и что с этим делать? Всё просто: если степень чётная, нужно ставить модуль: $\log_{a} b^{n} = n \log_{a} | b |$ .

Тогда в нашем примере $\log_{a} x^{2} = 2 \log_{a} | x |$

$2 \log_{a} | x |$ имеет область определения $| x | > 0 \Leftrightarrow x \neq 0$ . Области определения совпадают, а значит, корни не потеряются (и лишние не забегут).

Антипример 2

$\log_{2} (x - 1)^{2} \leq 2$

ОДЗ: $(x - 1)^{2} > 0$
Это неравенство верно для всех $x$ , кроме $x = 1$ .

Делаем «логичное» преобразование:

$2 \log_{2} (x - 1) \leq 2$

Смотрим на ОДЗ преобразованного неравенства:

$x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1 \Leftrightarrow x \in (1; + \infty)$

Вот оно! Видишь, что ОДЗ изменилось?

Исходное ОДЗ: $x \in (- \infty; 1) \cup (1; + \infty)$
ОДЗ после преобразования: $x \in (1; + \infty)$

Мы потеряли целый интервал решений: $(- \infty; 1)$ . Это преобразование неравносильное.

Продолжим решать наш антипример, чтобы увидеть разницу в ответах.

Антирешение

$2 \log_{2} (x - 1) \leq 2$

$\log_{2} (x - 1) \leq 1$

$\log_{2} (x - 1) \leq \log_{2} 2$

Так как основание логарифма $2 > 1$ , то логарифмическая функция возрастает, и мы можем отбросить логарифмы, сохранив знак неравенства:

$x - 1 \leq 2$

$x \leq 3$

Учитываем ОДЗ этого преобразованного неравенства $x \in (1; + \infty)$ :
Получаем решение: $x \in (1; 3]$ .

Решение

$2 \log_{2} | x - 1 | \leq 2$

$\log_{2} | x - 1 | \leq 1$

$\log_{2} | x - 1 | \leq \log_{2} 2$

$| x - 1 | \leq 2 \Leftrightarrow x - 1 \leq 2$ или $x - 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 3$ или $x \geq - 1$

Заметим, что $x - 1 \geq 0$ появилось не из ниоткуда, а из определения модуля.
Итого: $x \in [- 1; 3]$

С учётом ОДЗ исходного неравенства $x \in (- \infty; 1) \cup (1; + \infty)$ получаем ответ $x \in [- 1; 1) \cup (1; 3]$ .

Сравнение результатов

Антирешение без модуля: $x \in (1; 3]$

Решение с модулем: $x \in [- 1; 1) \cup (1; 3]$

Разница очевидна: при потере модуля произошло сужение ОДЗ, которое привело к потере целого интервала решения.

Теперь закрепим.

Пример

\log_{5} x^{2} + 4 \log_{25} (6 - 2 x) \geq \log_{\sqrt{5}} (x^{2} - 4) + 2 \log_{0, 2} (2 - x)

Решение

Проанализируем.

В момент снятия модуля ориентируйся на ОДЗ, благодаря чему ты всегда однозначно сможешь раскрыть его, опираясь на определение модуля. В нашем примере знак подмодульного выражения изменился на противоположный, потому что по ОДЗ значения $x$ всегда отрицательные.
Разность логарифмов — это логарифм частного. Сумма логарифмов — это логарифм произведения.
ОДЗ вычисляется для исходного неравенства, до начала преобразований.
Метод интервалов существует по своим законам внутри неравенств любого вида.

Итог

В задачах с логарифмами важна внимательность к деталям. Ошибки чаще всего возникают не в сложных местах, а там, где кажется, что всё очевидно. Чтобы избежать их, важно аккуратно применять свойства, не пропускать шаги в решении и всегда следить за условиями, при которых выражение имеет смысл.

Если держать это под контролем и не спешить с «логичными» упрощениями, большинство типичных ошибок просто не возникнет.