«Опасные» свойства логарифмов

«Ну почему так?» — задаёшься ты вопросом каждый раз, когда мозг подкидывает логичное, на первый взгляд, но абсолютно неверное свойство. Например, учитель спрашивает: «Чему равен квадрат суммы $(a+b)^2$»? Ну логично же — сумме квадратов: $a^2+b^2$. А вот и нет. Дальше идёт объяснение, доказательство, много примеров и контрпримеров, но всё равно многие продолжают раскрывать формулу неверно.

Та же история — со свойствами степеней. Они тянут за собой «логичные аналогии», которые потом ломают решения уже в показательных выражениях, а затем и в логарифмах.

Если ты тоже иногда путаешься — сейчас разложим всё по полочкам и разберём самые опасные места, в которых можно случайно ошибиться.

Почему-то многие старшеклассники уверены, что $\log_c(a + b) = \log_c a + \log_c b$. А потом искренне не понимают, почему решение задания заходит в тупик, а учителя обнуляют им баллы.

Записывай и запоминай: $\log_c(a \cdot b) = \log_c a + \log_c b$.

Почему так? Суть логарифма — это показатель степени. Когда мы умножаем числа с одинаковым основанием, их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Логарифм — это обратная операция, значит для него всё остается таким же.

А вот когда ты складываешь $a^m + a^n$, никакого красивого показателя степени из этого не выйдет, потому что слагаемые неподобные. Нельзя просто так взять и приравнять это к $a^{m+n}$.

Совет: проверка на числах

Если в голове начинается путаница — подставь конкретные числа.

Пусть $a = 2$, $b = 3$.

$\log_3(3+9) = \log_3 12 \neq \log_3 3 + \log_3 9 = \log_3(3 \cdot 9) = \log_3 27 = 3$

Очевидно, что $\log_3 12 \neq \log_3 27$.

Если всё ещё сомневаешься, вычисли каждый логарифм отдельно и убедись: $\log_3 3 + \log_3 9 = 1 + 2 = 3$. Подбирай числа так, чтобы тебе было комфортно и наглядно. Лучше потратить минуту на проверку формулы, чем потерять баллы.

Аналогично, формула для разности логарифмов: $\log_c(a − b) \neq \log_c a − \log_c b$. Здесь уже применяется деление: $\log_c a − \log_c b = \log_c \dfrac{a}{b}$.

Запомни: только умножение и деление преобразуются по формулам.

Логарифм — капризная штука. Он работает не с любыми числами. Чтобы логарифм $\log_a b$ существовал, нужно соблюсти три золотых правила:

1. Основание логарифма должно быть больше нуля: $a > 0$.
2. Основание логарифма не должно быть равно единице: $a \neq 1$.
3. Выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля: $b > 0$.

А ещё есть такое понятие как равносильные преобразования. Простыми словами это значит, что каждая следующая строчка упрощения или преобразования в уравнении или неравенстве должна быть законной и не менять область определения. Равносильными называются уравнения и неравенства, которые имеют одинаковое множество решений.

Антипример 1

$\log_2(x^2 − 4) < \log_2 3x$

Антирешение

$\log_2(x^2 − 4) − \log_2 3x < 0 \quad$ (1)

По свойству логарифмов:

$\log_2 \frac{x^2 − 4}{3x} < 0 \quad (2) \Leftrightarrow \frac{x^2 − 4}{3x} < 1 \Leftrightarrow \frac{x^2 − 3x − 4}{3x} < 0 \Leftrightarrow$

нули числителя: $x^2 − 3x − 4 = 0 \Rightarrow x_1 = −1;\ x_2 = 4$

нули знаменателя: $3x = 0 \Rightarrow x = 0$

$x \in (−\infty;\ −1) \cup (0;\ 4)$

С учетом ОДЗ: $\dfrac{x^2 − 4}{3x} > 0 \Leftrightarrow x \in (−2;\ 0) \cup (2;\ +\infty)$

Ответ: $x \in (−2;\ −1) \cup (2;\ 4)$.

Что не так? Дело в том, что (1) и (2) — равносильные преобразования только на ОДЗ исходного неравенства. А оно $x^2 − 4 > 0$ и $3x > 0\ \Leftrightarrow  \ x \in (2;\ +\infty)$.

Решение

$\log_2(x^2 − 4) < \log_2 3x$

ОДЗ: $x^2 − 4 > 0$ и $3x > 0\ \Leftrightarrow \ x \in (2;\ +\infty)$

$\log_2(x^2 − 4) − \log_2 3x < 0$

$\log_2 \frac{x^2 − 4}{3x} < 0$

$x \in (−\infty;\ −1) \cup (0;\ 4)$

С учётом ОДЗ $x \in (2;\ +\infty) \Rightarrow x \in (2;\ 4)$.

Чему нас учит этот пример?

Всегда записывай ОДЗ исходного выражения до начала преобразований. И после преобразований сравнивай. Если ОДЗ изменилась — ищи подвох. Чаще всего это происходит при применении свойств логарифмов произведения, частного и степени.

А сейчас будет очень грустная сказка о потерянном модуле.

Жил-был выпускник, и попалось ему однажды логарифмическое выражение, содержащее подлогарифмическое выражение в чётной степени. Он начал упрощать — всё по правилам — а в конце получил неправильный ответ. Почему? Потому что в процессе упрощения он нечаянно изменил область определения! Проще говоря — потерял модуль.

Классический пример — свойство логарифма степени: $\log_a b^n = n \log_a b$. Кажется, что тут может быть не так? Коварная чётная степень.

Пусть изначальное выражение: $\log_a x^2$

ОДЗ: $x^2 > 0$. Это значит, что $x$ может быть любым числом, кроме нуля ($x \neq 0$). Ведь $(−2)^2 = 4 > 0$, $2^2 = 4 > 0$.

Преобразуем выражение по свойству: $2\log_a x$

ОДЗ: $x > 0$. А вот здесь уже $x$ может быть только положительным. Значения $x < 0$ (например, $x = −2$) здесь уже недопустимы, потому что $\log_a(−2)$ не существует.

Видишь? Преобразовав $\log_a x^2$ в $2\log_a x$, мы сузили область определения! А это значит, что какие-то корни или решения, которые были допустимы в исходном выражении, теперь теряются, а само преобразование перестаёт быть равносильным.

Но почему так и что с этим делать? Всё просто: если степень чётная, нужно ставить модуль: $\log_a b^n = n \log_a |b|$.

Тогда в нашем примере $\log_a x^2 = 2\log_a |x|$

$2\log_a |x|$ имеет область определения $|x| > 0 \Leftrightarrow x \neq 0$. Области определения совпадают, а значит, корни не потеряются (и лишние не забегут).

Антипример 2

$\log_2(x−1)^2 \leq 2$

ОДЗ: $(x−1)^2 > 0$
Это неравенство верно для всех $x$, кроме $x = 1$.

Делаем «логичное» преобразование:

$2\log_2(x−1) \leq 2$

Смотрим на ОДЗ преобразованного неравенства:

$x − 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1 \Leftrightarrow x \in (1;\ +\infty)$

Вот оно! Видишь, что ОДЗ изменилось?

• Исходное ОДЗ: $x \in (−\infty;\ 1) \cup (1;\ +\infty)$
• ОДЗ после преобразования: $x \in (1;\ +\infty)$

Мы потеряли целый интервал решений: $(−\infty;\ 1)$. Это преобразование неравносильное.

Продолжим решать наш антипример, чтобы увидеть разницу в ответах.

Антирешение

$2\log_2(x−1) \leq 2$

$\log_2(x−1) \leq 1$

$\log_2(x−1) \leq \log_2 2$

Так как основание логарифма $2 > 1$, то логарифмическая функция возрастает, и мы можем отбросить логарифмы, сохранив знак неравенства:

$x − 1 \leq 2$

$x \leq 3$

Учитываем ОДЗ этого преобразованного неравенства $x \in (1;\ +\infty)$:
Получаем решение: $x \in (1;\ 3]$.

Решение

$2\log_2|x−1| \leq 2$

$\log_2|x−1| \leq 1$

$\log_2|x−1| \leq \log_2 2$

Так как основание логарифма $2 > 1$, то логарифмическая функция возрастает, и мы можем отбросить логарифмы, сохранив знак неравенства:

$|x−1| \leq 2 \Leftrightarrow x−1 \leq 2$ или $x−1 \ge 0 \Leftrightarrow x \leq 3$ или $x \ge −1$

Заметим, что $x − 1 \geq 0$ появилось не из ниоткуда, а из определения модуля.
Итого: $x \in [−1;\ 3]$

С учётом ОДЗ исходного неравенства $x \in (−\infty;\ 1) \cup (1;\ +\infty)$ получаем ответ $x \in [−1;\ 1) \cup (1;\ 3]$.

Сравнение результатов

Антирешение без модуля: $x \in (1;\ 3]$

Решение с модулем: $x \in [−1;\ 1) \cup (1;\ 3]$

Разница очевидна: при потере модуля произошло сужение ОДЗ, которое привело к потере целого интервала решения.

Теперь закрепим.

Пример

Решение

Проанализируем.

1. В момент снятия модуля ориентируйся на ОДЗ, благодаря чему ты всегда однозначно сможешь раскрыть его, опираясь на определение модуля. В нашем примере знак подмодульного выражения изменился на противоположный, потому что по ОДЗ значения $x$ всегда отрицательные.
2. Разность логарифмов — это логарифм частного. Сумма логарифмов — это логарифм произведения.
3. ОДЗ вычисляется для исходного неравенства, до начала преобразований.
4. Метод интервалов существует по своим законам внутри неравенств любого вида.

В задачах с логарифмами важна внимательность к деталям. Ошибки чаще всего возникают не в сложных местах, а там, где кажется, что всё очевидно. Чтобы избежать их, важно аккуратно применять свойства, не пропускать шаги в решении и всегда следить за условиями, при которых выражение имеет смысл.

Если держать это под контролем и не спешить с «логичными» упрощениями, большинство типичных ошибок просто не возникнет.