Решение уравнений высоких степеней

Когда степень многочлена в уравнении больше двух — это уже про высокую степень. На экзамене чаще всего встречаются уравнения третьей и четвёртой степеней, а вообще может быть и больше.

В первую очередь при решении любого уравнения нужно научиться видеть и узнавать объект перед собой. Многочлены высоких степеней бывают разными, и для каждого типа есть свои подходы.

Главная цель при решении уравнений и неравенств высоких степеней — разложить многочлен на множители. Если мы сможем это сделать, то задача сведётся к произведению более простых множителей, а дальше можно применять метод интервалов.

Для разложения на множители используются классические методы: поискать общий множитель, заметить формулы сокращённого умножения или применить метод группировки. Обычно эти способы покрывают большую часть уравнений, встречающихся в ЕГЭ, но ещё есть способы для нахождения корней и разложение на множители с их помощью. Давай разберём все варианты.

Подбор корней среди делителей свободного члена

Если многочлен имеет целые корни, то они являются делителями его свободного члена. Очень эффективный метод на экзамене — проверить сразу же $\pm 1$, потому что такие корни встречаются чаще остальных.

Пример

Пусть дан многочлен $P(x)=x^3+2x^2-5x-6$

Свободный член $-6$ имеет делители: $\pm 1;\pm 2;\pm 3;\pm 6$

$P(1)=1+2-5-6=-8\ne 0$ — не корень.

$P(-1)=-1+2+5-6=0$ — корень, значит, $x=-1$, и наш многочлен можно разложить на множители с помощью деления в столбик на двучлен $(x+1)$: $P(x)=x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(\text{квадратный трёхчлен})$

Если потенциальные корни $\pm 1$ не подошли, то ищем дальше среди делителей свободного члена и делим на соответствующий двучлен.

Давай теперь проверим этот способ для нашего примера.

Возьмём числитель-многочлен $P(x)=8x^3+4x^2-2x-1$ и проверим, являются ли $\pm 1$ его корнями.

$P(1)=8+4-2-1=9\ne 0$ — не корень.

$P(-1)=-8+4+2-1=-3\ne 0$ — не корень.

И здесь возникает проблема, ведь больше целых делителей у свободного члена нет, что же делать? Конечно, можно воспользоваться теоремой о рациональных корнях, которая гласит: если уравнение имеет рациональный корень, то в его числителе будет стоять делитель свободного члена, а в знаменателе делитель старшего коэффициента. В нашем случае это:

Числитель: $\pm 1$

Знаменатель: $\pm 1;\pm 2;\pm ,4;\pm 8$

То есть потенциальные корни — это следующие дроби: $\pm {\displaystyle \frac{1}{2}};\pm {\displaystyle \frac{1}{4}};\pm {\displaystyle \frac{1}{8}}$

И также подстановкой можно их проверить. Например, $P\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=1+1-1-1=0$ — ура, корень!

Значит: $P(x)=8x^3+4x^2-2x-1=\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)(\text{квадратный трёхчлен})$.

Деление многочлена на многочлен

Теперь давай разбираться с загадочной скобкой (квадратный трёхчлен): как его получить, зачем и что с ним делать дальше.

После того как мы получили первый линейный множитель, нужно разделить многочлен на этот полученный двучлен. Сделать это можно двумя способами: поделить в столбик или воспользоваться схемой Горнера.

При делении в столбик мы делим как обычные числа.

Возьмём первый одночлен $P(x)$ и разделим на первый одночлен линейного двучлена $\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\Rightarrow {\displaystyle \frac{8x^3}{x}}=8x^2$

Полученный результат умножим на $\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$: $8x^2\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=8x^3-4x^2$ и вычтем этот результат из исходного $P(x)$.

Далее «сносим» следующий одночлен-слагаемое к остатку и повторяем деление до тех пор, пока не получится нулевой остаток.

Почему мы получили нулевой остаток? Потому что мы уже знали, что $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ — корень, то есть он обнуляет значение многочлена.

Схема Горнера. Мощная и невероятно удобная таблица, которая позволяет выполнить деление многочлена на двучлен без всяких столбиков. Бонусом мы легко проверяем, является число корнем или нет, находим остаток от деления, а ещё получаем коэффициенты того самого квадратного трёхчлена при делении кубического многочлена.

Как работать со схемой:

1. в строчку выписываем все коэффициенты по убыванию степеней (даже нулевые);
2. в первом столбике всегда пишем тот же коэффициент, что при старшей степени;
3. по горизонтали умножаем, по диагонали прибавляем и в нижнюю клетку пишем ответ;
4. повторяем для каждой клеточки по горизонтали;
5. в последней клеточке таблицы получаем остаток от деления. Если он нулевой — мы нашли корень, если нет — не корень.

Получаем в итоге $P(x)=8x^3+4x^2-2x-1=\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)(8x^2+8x+2)$

Ну а разложить полученный квадратный трёхчлен ты уже можешь любым способом, и вот перед нами $8x^2+8x+2=2(4x^2+4x+1)=2(2x+1{)}^2$ — как вариант, вынести общий множитель и свернуть по ФСУ.

Быстро, удобно, но требует практики и насмотренности. Главная задача — заметить подходящие группы слагаемых, а иногда и расписать некоторые одночлены на сумму подобных с удобными коэффициентами.

Попробуем сгруппировать наш

Это, пожалуй, самый дружелюбный тип уравнений высокой степени. Выглядят они, например, вот так: $a{x}^4+b{x}^2+c=0$. На что похоже? Правильно, это почти как квадратное уравнение!

Особенность биквадратных уравнений в том, что они содержат только чётные степени: $x^4,x^2,x^0$ (или $x^6,x^3,x^0$ и тому подобные). В таком случае вводится замена переменной $t=x^2$.

Пусть $t=x^2$

Далее решаем классическое квадратное уравнение и получаем корни

$t_1=1$

$t_2=4$

Не забудь выполнить обратную замену:

И в ответе будет четыре корня $\pm 1$ и $\pm 2$.

Иногда в уравнении встречается многочлен с симметричными коэффициентами. Такие многочлены называют симметричными (или возвратными).

Пример: $x^4-3x^3+5x^2-3x+1=0$

$P(x)=x^4-3x^3+5x^2-3x+1$ — симметричный, потому что его коэффициенты $1;-3;5;-3;1$ симметричны.

Такого вида многочлены преобразуются с помощью введения замены $x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$.

Как её ввести?

1. Убедимся, что $x\ne 0$, и разделим на $x^2$.

2. Группируем так, чтобы появилась сумма $x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$ (по одинаковым коэффициентам).

3. Вводим замену $t=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$ и получаем квадратное уравнение.

Неожиданно? Но ничего, не забывай, что некоторые уравнения могут не иметь действительных корней.

А теперь давай окончательно разберёмся с неравенством из ЕГЭ 2025.

Пример 1. ЕГЭ 2025 Основная волна

Решите неравенство:

Решение

Перед нами дробно-рациональное неравенство, которое решается с помощью метода интервалов.

Нули числителя: $8x^3+4x^2-2x-1=0$.

$(2x-1)(2x+1{)}^2=0$

$x={\displaystyle \frac{1}{2}};$

$x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ — кратный корень.

Нули знаменателя: ${81}^{x^2}-6·9^{x^2}+9=0$.

Введём замену $t=9^{x^2}\Rightarrow t^2-6t+9=0$ — заметим, что это ФСУ и свернём по формуле $(t-3{)}^2=0$.

$t=3$ — кратный корень.

Обратная замена: $t=9^{x^2}=3\Rightarrow x^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow x=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ — каждый из них кратный корень.

И получаем ответ:

В неравенствах такого типа могут встречаться разные конструкции, но подход остаётся тем же.

Что нужно делать:

• отработай метод интервалов;
• всегда старайся разложить на множители многочлены второй и выше степеней;
• проверяй корни $\pm 1$;
• аккуратно оформляй решение и забирай свои два балла.