Решение уравнений высоких степеней

Когда степень многочлена в уравнении больше двух — это уже про высокую степень. На экзамене чаще всего встречаются уравнения третьей и четвёртой степеней, а вообще может быть и больше.

В первую очередь при решении любого уравнения нужно научиться видеть и узнавать объект перед собой. Многочлены высоких степеней бывают разными, и для каждого типа есть свои подходы.

Главная цель при решении уравнений и неравенств высоких степеней — разложить многочлен на множители. Если мы сможем это сделать, то задача сведётся к произведению более простых множителей, а дальше можно применять метод интервалов.

Для разложения на множители используются классические методы: поискать общий множитель, заметить формулы сокращённого умножения или применить метод группировки. Обычно эти способы покрывают большую часть уравнений, встречающихся в ЕГЭ, но ещё есть способы для нахождения корней и разложение на множители с их помощью. Давай разберём все варианты.

Подбор корней среди делителей свободного члена

Если многочлен имеет целые корни, то они являются делителями его свободного члена. Очень эффективный метод на экзамене — проверить сразу же $\pm 1$, потому что такие корни встречаются чаще остальных.

Пример

Пусть дан многочлен $P(x) = x^3 + 2x^2 − 5x − 6$

Свободный член $−6$ имеет делители: $\pm 1;\ \pm 2;\ \pm 3;\ \pm 6$

$P(1) = 1 + 2 − 5 − 6 = −8 \neq 0$ — не корень.

$P(−1) = −1 + 2 + 5 − 6 = 0$ — корень, значит, $x = −1$, и наш многочлен можно разложить на множители с помощью деления в столбик на двучлен $(x+1)$: $P(x) = x^3 + 2x^2 − 5x − 6 = (x+1)(\text{квадратный трёхчлен})$

Если потенциальные корни $\pm 1$ не подошли, то ищем дальше среди делителей свободного члена и делим на соответствующий двучлен.

Давай теперь проверим этот способ для нашего примера.

Возьмём числитель-многочлен $P(x) = 8x^3 + 4x^2 − 2x − 1$ и проверим, являются ли $\pm 1$ его корнями.

$P(1) = 8 + 4 − 2 − 1 = 9 \neq 0$ — не корень.

$P(−1) = −8 + 4 + 2 − 1 = −3 \neq 0$ — не корень.

И здесь возникает проблема, ведь больше целых делителей у свободного члена нет, что же делать? Конечно, можно воспользоваться теоремой о рациональных корнях, которая гласит: если уравнение имеет рациональный корень, то в его числителе будет стоять делитель свободного члена, а в знаменателе делитель старшего коэффициента. В нашем случае это:

Числитель: $\pm 1$

Знаменатель: $\pm 1;\pm 2;\pm, 4;\pm 8$

То есть потенциальные корни — это следующие дроби: $\pm\dfrac{1}{2};\ \pm\dfrac{1}{4};\ \pm\dfrac{1}{8}$

И также подстановкой можно их проверить. Например, $P\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = 1 + 1 − 1 − 1 = 0$ — ура, корень!

Значит: $P(x) = 8x^3 + 4x^2 − 2x − 1 = \left(x − \dfrac{1}{2}\right)(\text{квадратный трёхчлен})$.

Деление многочлена на многочлен

Теперь давай разбираться с загадочной скобкой (квадратный трёхчлен): как его получить, зачем и что с ним делать дальше.

После того как мы получили первый линейный множитель, нужно разделить многочлен на этот полученный двучлен. Сделать это можно двумя способами: поделить в столбик или воспользоваться схемой Горнера.

При делении в столбик мы делим как обычные числа.

Возьмём первый одночлен $P(x)$ и разделим на первый одночлен линейного двучлена $\left(x − \dfrac{1}{2}\right) \Rightarrow \dfrac{8x^3}{x} = 8x^2$

Полученный результат умножим на $\left(x − \dfrac{1}{2}\right)$: $8x^2\left(x − \dfrac{1}{2}\right) = 8x^3 − 4x^2$ и вычтем этот результат из исходного $P(x)$.

Далее «сносим» следующий одночлен-слагаемое к остатку и повторяем деление до тех пор, пока не получится нулевой остаток.

Почему мы получили нулевой остаток? Потому что мы уже знали, что $x = \dfrac{1}{2}$ — корень, то есть он обнуляет значение многочлена.

Схема Горнера. Мощная и невероятно удобная таблица, которая позволяет выполнить деление многочлена на двучлен без всяких столбиков. Бонусом мы легко проверяем, является число корнем или нет, находим остаток от деления, а ещё получаем коэффициенты того самого квадратного трёхчлена при делении кубического многочлена.

Как работать со схемой:

1. в строчку выписываем все коэффициенты по убыванию степеней (даже нулевые);
2. в первом столбике всегда пишем тот же коэффициент, что при старшей степени;
3. по горизонтали умножаем, по диагонали прибавляем и в нижнюю клетку пишем ответ;
4. повторяем для каждой клеточки по горизонтали;
5. в последней клеточке таблицы получаем остаток от деления. Если он нулевой — мы нашли корень, если нет — не корень.

Получаем в итоге $P(x) = 8x^3 + 4x^2 − 2x − 1 = \left(x − \dfrac{1}{2}\right)(8x^2 + 8x + 2)$

Ну а разложить полученный квадратный трёхчлен ты уже можешь любым способом, и вот перед нами $8x^2 + 8x + 2 = 2(4x^2 + 4x + 1) = 2(2x+1)^2$ — как вариант, вынести общий множитель и свернуть по ФСУ.

Быстро, удобно, но требует практики и насмотренности. Главная задача — заметить подходящие группы слагаемых, а иногда и расписать некоторые одночлены на сумму подобных с удобными коэффициентами.

Попробуем сгруппировать наш

Это, пожалуй, самый дружелюбный тип уравнений высокой степени. Выглядят они, например, вот так: $ax^4 + bx^2 + c = 0$. На что похоже? Правильно, это почти как квадратное уравнение!

Особенность биквадратных уравнений в том, что они содержат только чётные степени: $x^4,\ x^2,\ x^0$ (или $x^6,\ x^3,\ x^0$ и тому подобные). В таком случае вводится замена переменной $t = x^2$.

Пусть $t = x^2$

Далее решаем классическое квадратное уравнение и получаем корни

$t_1 = 1$

$t_2 = 4$

Не забудь выполнить обратную замену:

И в ответе будет четыре корня $\pm 1$ и $\pm 2$.

Иногда в уравнении встречается многочлен с симметричными коэффициентами. Такие многочлены называют симметричными (или возвратными).

Пример: $x^4 − 3x^3 + 5x^2 − 3x + 1 = 0$

$P(x) = x^4 − 3x^3 + 5x^2 − 3x + 1$ — симметричный, потому что его коэффициенты $1;\ −3;\ 5;\ -3;\ 1$ симметричны.

Такого вида многочлены преобразуются с помощью введения замены $x + \dfrac{1}{x}$.

Как её ввести?

1. Убедимся, что $x \neq 0$, и разделим на $x^2$.

2. Группируем так, чтобы появилась сумма $x + \dfrac{1}{x}$ (по одинаковым коэффициентам).

3. Вводим замену $t = x + \dfrac{1}{x}$ и получаем квадратное уравнение.

Неожиданно? Но ничего, не забывай, что некоторые уравнения могут не иметь действительных корней.

А теперь давай окончательно разберёмся с неравенством из ЕГЭ 2025.

Пример 1. ЕГЭ 2025 Основная волна

Решите неравенство:

Решение

Перед нами дробно-рациональное неравенство, которое решается с помощью метода интервалов.

Нули числителя: $8x^3 + 4x^2 − 2x − 1 = 0$.

$(2x−1)(2x+1)^2 = 0$

$x = \dfrac{1}{2};$

$x = −\dfrac{1}{2}$ — кратный корень.

Нули знаменателя: $81^{x^2} − 6 \cdot 9^{x^2} + 9 = 0$.

Введём замену $t = 9^{x^2} \quad \Rightarrow \quad t^2 − 6t + 9 = 0$ — заметим, что это ФСУ и свернём по формуле $(t−3)^2 = 0$.

$t = 3$ — кратный корень.

Обратная замена: $t = 9^{x^2} = 3 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \dfrac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ — каждый из них кратный корень.

И получаем ответ:

В неравенствах такого типа могут встречаться разные конструкции, но подход остаётся тем же.

Что нужно делать:

• отработай метод интервалов;
• всегда старайся разложить на множители многочлены второй и выше степеней;
• проверяй корни $\pm 1$;
• аккуратно оформляй решение и забирай свои два балла.